Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 119
b = 111
c = 90

Obsah trojúhelníku: S = 4743,50108169073
Obvod trojúhelníku: o = 320
Semiperimeter (poloobvod): s = 160

Úhel ∠ A = α = 71,74109799509° = 71°44'28″ = 1,25221163088 rad
Úhel ∠ B = β = 62,35110950415° = 62°21'4″ = 1,08882319007 rad
Úhel ∠ C = γ = 45,90879250076° = 45°54'29″ = 0,80112444441 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 79,72327028052
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 85,46884831875
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 105,41111292646

Těžnice: t_a = 81,67215984905
Těžnice: t_b = 89,72331854093
Těžnice: t_c = 105,9065618359

Poloměr vepsané kružnice: r = 29,64768801057
Poloměr opsané kružnice: R = 62,65546745688

Souřadnice vrcholů: A[90; 0] B[0; 0] C[55,22222222222; 105,41111292646]
Těžiště: T[48,40774074074; 35,13770430882]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[45; 43,59659659294]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[49; 29,64768801057]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 108,25990200491° = 108°15'32″ = 1,25221163088 rad
∠ B' = β' = 117,64989049585° = 117°38'56″ = 1,08882319007 rad
∠ C' = γ' = 134,09220749925° = 134°5'31″ = 0,80112444441 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 119 b = 111 c = 90

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 119 + 111 + 90 = 320

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2 0}{2} = 160

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 160 (160 - 119) (160 - 111) (160 - 90) S = 22500800 = 4743, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 7 4 3 , 5}{1 1 9} = 79, 72 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 7 4 3 , 5}{1 1 1} = 85, 47 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 7 4 3 , 5}{9 0} = 105, 41

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 1 ^{2} + 9 0 ^{2} - 1 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 1 1 \cdot 9 0}) = 71 ° 4 4^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 9 ^{2} + 9 0 ^{2} - 1 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 9 \cdot 9 0}) = 62 ° 2 1^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 71 ° 4 4^{'} 28 " - 62 ° 2 1^{'} 4 " = 45 ° 5 4^{'} 29 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 7 4 3 , 5}{1 6 0} = 29, 65

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 9 \cdot 1 1 1 \cdot 9 0}{4 \cdot 2 9 , 6 4 7 \cdot 1 6 0} = 62, 65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 1 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 1 9 ^{2}}{2} = 81, 672 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 9 ^{2} - 1 1 1 ^{2}}{2} = 89, 723 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 1 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 105, 906

Vypočítat další trojúhelník