Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 13
b = 14
c = 12,21

Obsah trojúhelníku: S = 73,26216561234
Obvod trojúhelníku: o = 39,21
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,605

Úhel ∠ A = α = 58,99994363342° = 58°59'58″ = 1,03297344209 rad
Úhel ∠ B = β = 67,38332438173° = 67°23' = 1,17660594653 rad
Úhel ∠ C = γ = 53,61773198485° = 53°37'2″ = 0,93657987675 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,2711024019
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,46659508748
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 122,0002712733

Těžnice: t_a = 11,41545543058
Těžnice: t_b = 10,49900929453
Těžnice: t_c = 12,05110984976

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,73768863108
Poloměr opsané kružnice: R = 7,58331619076

Souřadnice vrcholů: A[12,21; 0] B[0; 0] C[4,99993488943; 122,0002712733]
Těžiště: T[5,73664496314; 44,0000904244]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,105; 4,49881462311]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,605; 3,73768863108]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,00105636658° = 121°2″ = 1,03297344209 rad
∠ B' = β' = 112,61767561827° = 112°37' = 1,17660594653 rad
∠ C' = γ' = 126,38326801515° = 126°22'58″ = 0,93657987675 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13 b = 14 c = 12, 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 14 + 12, 21 = 39, 21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9 , 2 1}{2} = 19, 61

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 61 (19, 61 - 13) (19, 61 - 14) (19, 61 - 12, 21) S = 5367, 27 = 73, 26

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 3 , 2 6}{1 3} = 11, 27 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 3 , 2 6}{1 4} = 10, 47 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 3 , 2 6}{1 2 , 2 1} = 12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 2 , 2 1}) = 58 ° 5 9^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 2 , 2 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 2 , 2 1}) = 67 ° 2 3^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 5 9^{'} 58 " - 67 ° 2 3^{'} = 53 ° 3 7^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 3 , 2 6}{1 9 , 6 1} = 3, 74

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 4 \cdot 1 2 , 2 1}{4 \cdot 3 , 7 3 7 \cdot 1 9 , 6 0 5} = 7, 58

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 415 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 49 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 2 , 2 1 ^{2}}{2} = 12, 051

Vypočítat další trojúhelník