Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 13
b = 14
c = 2,21

Obsah trojúhelníku: S = 13,25883430507
Obvod trojúhelníku: o = 29,21
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,605

Úhel ∠ A = α = 58,98553686438° = 58°59'7″ = 1,02994888933 rad
Úhel ∠ B = β = 112,63770417921° = 112°38'13″ = 1,9665887239 rad
Úhel ∠ C = γ = 8,37875895641° = 8°22'39″ = 0,14662165213 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 2,04397450847
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,89440490072
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,99985004983

Těžnice: t_a = 7,62883713858
Těžnice: t_b = 6,16597118439
Těžnice: t_c = 13,46439880793

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,90877947998
Poloměr opsané kružnice: R = 7,58442810535

Souřadnice vrcholů: A[2,21; 0] B[0; 0] C[-5,00435972851; 11,99985004983]
Těžiště: T[-0,9311199095; 43,9995001661]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,105; 7,50333521908]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,605; 0,90877947998]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,01546313562° = 121°53″ = 1,02994888933 rad
∠ B' = β' = 67,36329582079° = 67°21'47″ = 1,9665887239 rad
∠ C' = γ' = 171,62224104359° = 171°37'21″ = 0,14662165213 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13 b = 14 c = 2, 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 14 + 2, 21 = 29, 21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9 , 2 1}{2} = 14, 61

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 61 (14, 61 - 13) (14, 61 - 14) (14, 61 - 2, 21) S = 175, 78 = 13, 26

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 6}{1 3} = 2, 04 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 6}{1 4} = 1, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 6}{2 , 2 1} = 12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 , 2 1}) = 58 ° 5 9^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 , 2 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 , 2 1}) = 112 ° 3 8^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 5 9^{'} 7 " - 112 ° 3 8^{'} 13 " = 8 ° 2 2^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 2 6}{1 4 , 6 1} = 0, 91

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 4 \cdot 2 , 2 1}{4 \cdot 0 , 9 0 8 \cdot 1 4 , 6 0 5} = 7, 58

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 , 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 628 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 16 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 , 2 1 ^{2}}{2} = 13, 464

Vypočítat další trojúhelník