Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 135
b = 90
c = 191,96
Obsah trojúhelníku: S = 5475,75988941782
Obvod trojúhelníku: o = 416,96
Semiperimeter (poloobvod): s = 208,48
Úhel ∠ A = α = 39,33884807562° = 39°20'19″ = 0,68765860119 rad
Úhel ∠ B = β = 24,99988646155° = 24°59'56″ = 0,43663124968 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,66326546283° = 115°39'46″ = 2,01986941449 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 81,12223539878
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 121,68435309817
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 57,05110407812
Těžnice: ta = 133,8588398317
Těžnice: tb = 159,72442022988
Těžnice: tc = 62,85217271044
Poloměr vepsané kružnice: r = 26,2655152025
Poloměr opsané kružnice: R = 106,4843596387
Souřadnice vrcholů: A[191,96; 0] B[0; 0] C[122,35326818087; 57,05110407812]
Těžiště: T[104,77108939362; 19,01770135937]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[95,98; -46,11550289982]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[118,48; 26,2655152025]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,66215192438° = 140°39'41″ = 0,68765860119 rad
∠ B' = β' = 155,00111353845° = 155°4″ = 0,43663124968 rad
∠ C' = γ' = 64,33773453717° = 64°20'14″ = 2,01986941449 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=135 b=90 c=191,96
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=135+90+191,96=416,96
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2416,96=208,48
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=208,48(208,48−135)(208,48−90)(208,48−191,96) S=29983935,47=5475,76
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1352⋅ 5475,76=81,12 vb=b2 S=902⋅ 5475,76=121,68 vc=c2 S=191,962⋅ 5475,76=57,05
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 191,96902+191,962−1352)=39°20′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 135⋅ 191,961352+191,962−902)=24°59′56" γ=180°−α−β=180°−39°20′19"−24°59′56"=115°39′46"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=208,485475,76=26,27
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 26,265⋅ 208,48135⋅ 90⋅ 191,96=106,48
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 191,962−1352=133,858 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 191,962+2⋅ 1352−902=159,724 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1352+2⋅ 902−191,962=62,852
Vypočítat další trojúhelník