Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 12
c = 12
Obsah trojúhelníku: S = 68,22875604137
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Úhel ∠ A = α = 71,37106694253° = 71°22'14″ = 1,24656531708 rad
Úhel ∠ B = β = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 0,94879697414 rad
Úhel ∠ C = γ = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 0,94879697414 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,74767943448
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,37112600689
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 11,37112600689
Těžnice: ta = 9,74767943448
Těžnice: tb = 11,57658369028
Těžnice: tc = 11,57658369028
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,59109242323
Poloměr opsané kružnice: R = 7,3877044135
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[8,16766666667; 11,37112600689]
Těžiště: T[6,72222222222; 3,7990420023]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 4,30991090788]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,59109242323]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 108,62993305747° = 108°37'46″ = 1,24656531708 rad
∠ B' = β' = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 0,94879697414 rad
∠ C' = γ' = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 0,94879697414 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=12 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+12+12=38
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−14)(19−12)(19−12) S=4655=68,23
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 68,23=9,75 vb=b2 S=122⋅ 68,23=11,37 vc=c2 S=122⋅ 68,23=11,37
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−142)=71°22′14" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 12142+122−122)=54°18′53" γ=180°−α−β=180°−71°22′14"−54°18′53"=54°18′53"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1968,23=3,59
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,591⋅ 1914⋅ 12⋅ 12=7,39
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−142=9,747 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 142−122=11,576 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 122−122=11,576
Vypočítat další trojúhelník