Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14
b = 20
c = 7,5

Obsah trojúhelníku: S = 37,30877886473
Obvod trojúhelníku: o = 41,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,75

Úhel ∠ A = α = 29,8310589676° = 29°49'50″ = 0,52106420077 rad
Úhel ∠ B = β = 134,71442471775° = 134°42'51″ = 2,35112071626 rad
Úhel ∠ C = γ = 15,45551631465° = 15°27'19″ = 0,27697434833 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,33296840925
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,73107788647
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,94987436393

Těžnice: t_a = 13,38437588143
Těžnice: t_b = 5,11112620751
Těžnice: t_c = 16,8550445098

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,79879657179
Poloměr opsané kružnice: R = 14,072212861

Souřadnice vrcholů: A[7,5; 0] B[0; 0] C[-9,85; 9,94987436393]
Těžiště: T[-0,78333333333; 3,31662478798]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,75; 13,5633270388]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,75; 1,79879657179]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,1699410324° = 150°10'10″ = 0,52106420077 rad
∠ B' = β' = 45,28657528225° = 45°17'9″ = 2,35112071626 rad
∠ C' = γ' = 164,54548368535° = 164°32'41″ = 0,27697434833 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14 b = 20 c = 7, 5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14 + 20 + 7, 5 = 41, 5

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1 , 5}{2} = 20, 75

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 75 (20, 75 - 14) (20, 75 - 20) (20, 75 - 7, 5) S = 1391, 87 = 37, 31

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 7 , 3 1}{1 4} = 5, 33 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 7 , 3 1}{2 0} = 3, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 7 , 3 1}{7 , 5} = 9, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 7 , 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 7 , 5}) = 29 ° 4 9^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 7 , 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 7 , 5}) = 134 ° 4 2^{'} 51 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 4 9^{'} 50 " - 134 ° 4 2^{'} 51 " = 15 ° 2 7^{'} 19 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 7 , 3 1}{2 0 , 7 5} = 1, 8

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 2 0 \cdot 7 , 5}{4 \cdot 1 , 7 9 8 \cdot 2 0 , 7 5} = 14, 07

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 13, 384 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 5, 111 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2} = 16, 85

Vypočítat další trojúhelník