Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Pravoúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 22,5
c = 26,5
Obsah trojúhelníku: S = 157,5
Obvod trojúhelníku: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Úhel ∠ A = α = 31,89107918018° = 31°53'27″ = 0,5576599318 rad
Úhel ∠ B = β = 58,10992081982° = 58°6'33″ = 1,01441970088 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 22,5
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 14
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 11,88767924528
Těžnice: ta = 23,56437433359
Těžnice: tb = 17,96600250557
Těžnice: tc = 13,25
Poloměr vepsané kružnice: r = 5
Poloměr opsané kružnice: R = 13,25
Souřadnice vrcholů: A[26,5; 0] B[0; 0] C[7,39662264151; 11,88767924528]
Těžiště: T[11,29987421384; 3,96222641509]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,25; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 5]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,10992081982° = 148°6'33″ = 0,5576599318 rad
∠ B' = β' = 121,89107918019° = 121°53'27″ = 1,01441970088 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=22,5 c=26,5
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+22,5+26,5=63
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−14)(31,5−22,5)(31,5−26,5) S=24806,25=157,5
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 157,5=22,5 vb=b2 S=22,52⋅ 157,5=14 vc=c2 S=26,52⋅ 157,5=11,89
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22,5⋅ 26,522,52+26,52−142)=31°53′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 26,5142+26,52−22,52)=58°6′33" γ=180°−α−β=180°−31°53′27"−58°6′33"=90°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=31,5157,5=5
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5⋅ 31,514⋅ 22,5⋅ 26,5=13,25
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 22,52+2⋅ 26,52−142=23,564 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 26,52+2⋅ 142−22,52=17,96 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 22,52−26,52=13,25
Vypočítat další trojúhelník