Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14,73
b = 6378,1
c = 6378,12

Obsah trojúhelníku: S = 46974,7065531703
Obvod trojúhelníku: o = 12770,95
Semiperimeter (poloobvod): s = 6385,475

Úhel ∠ A = α = 0,13223223089° = 0°7'56″ = 0,002230946 rad
Úhel ∠ B = β = 89,85660441966° = 89°51'22″ = 1,5688283824 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,01216334944° = 90°42″ = 1,57109993696 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6378.10998685273
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,73299996964
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 14,73299535072

Těžnice: t_a = 6378,10657477103
Těžnice: t_b = 3189,08770090278
Těžnice: t_c = 3189,05770091878

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,35664935313
Poloměr opsané kružnice: R = 3189,06600657354

Souřadnice vrcholů: A[6378,12; 0] B[0; 0] C[0,03770091265; 14,73299535072]
Těžiště: T[2126,05223363755; 4,91099845024]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3189,06; -0,64875156214]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,375; 7,35664935313]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 179,86876776911° = 179°52'4″ = 0,002230946 rad
∠ B' = β' = 90,14439558034° = 90°8'38″ = 1,5688283824 rad
∠ C' = γ' = 89,98883665056° = 89°59'18″ = 1,57109993696 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14, 73 b = 6378, 1 c = 6378, 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14, 73 + 6378, 1 + 6378, 12 = 12770, 95

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 7 7 0 , 9 5}{2} = 6385, 48

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6385, 48 (6385, 48 - 14, 73) (6385, 48 - 6378, 1) (6385, 48 - 6378, 12) S = 2206622959, 79 = 46974, 71

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 6 9 7 4 , 7 1}{1 4 , 7 3} = 6378, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 6 9 7 4 , 7 1}{6 3 7 8 , 1} = 14, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 6 9 7 4 , 7 1}{6 3 7 8 , 1 2} = 14, 73

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 3 7 8 , 1 ^{2} + 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} - 1 4 , 7 3 ^{2}}{2 \cdot 6 3 7 8 , 1 \cdot 6 3 7 8 , 1 2}) = 0 ° 7^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 , 7 3 ^{2} + 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} - 6 3 7 8 , 1 ^{2}}{2 \cdot 1 4 , 7 3 \cdot 6 3 7 8 , 1 2}) = 89 ° 5 1^{'} 22 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 0 ° 7^{'} 56 " - 89 ° 5 1^{'} 22 " = 90 ° 42 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 6 9 7 4 , 7 1}{6 3 8 5 , 4 8} = 7, 36

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 , 7 3 \cdot 6 3 7 8 , 1 \cdot 6 3 7 8 , 1 2}{4 \cdot 7 , 3 5 6 \cdot 6 3 8 5 , 4 7 5} = 3189, 06

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 3 7 8 , 1 ^{2} + 2 \cdot 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} - 1 4 , 7 3 ^{2}}{2} = 6378, 106 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 3 7 8 , 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 , 7 3 ^{2} - 6 3 7 8 , 1 ^{2}}{2} = 3189, 087 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 6 3 7 8 , 1 ^{2} - 6 3 7 8 , 1 2 ^{2}}{2} = 3189, 057

Vypočítat další trojúhelník