Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14,97
b = 13
c = 11,52

Obsah trojúhelníku: S = 72,32326260887
Obvod trojúhelníku: o = 39,49
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,745

Úhel ∠ A = α = 74,9832567881° = 74°58'57″ = 1,30986926911 rad
Úhel ∠ B = β = 57,00878227746° = 57°28″ = 0,99549742068 rad
Úhel ∠ C = γ = 48,01096093443° = 48°35″ = 0,83879257557 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,66223414948
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,12765578598
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,55660114737

Těžnice: t_a = 9,73880683403
Těžnice: t_b = 11,66985753201
Těžnice: t_c = 12,78217389271

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,66328324178
Poloměr opsané kružnice: R = 7,75496743455

Souřadnice vrcholů: A[11,52; 0] B[0; 0] C[8,15215321181; 12,55660114737]
Těžiště: T[6,55771773727; 4,18553371579]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,76; 5,18545783302]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,745; 3,66328324178]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 105,0177432119° = 105°1'3″ = 1,30986926911 rad
∠ B' = β' = 122,99221772254° = 122°59'32″ = 0,99549742068 rad
∠ C' = γ' = 131,99903906557° = 131°59'25″ = 0,83879257557 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14, 97 b = 13 c = 11, 52

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14, 97 + 13 + 11, 52 = 39, 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9 , 4 9}{2} = 19, 75

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 4 , 9 7} = 9, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 3} = 11, 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 1 , 5 2} = 12, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 1 , 5 2 ^{2} - 1 4 , 9 7 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 1 , 5 2}) = 74 ° 5 8^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 , 9 7 ^{2} + 1 1 , 5 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 , 9 7 \cdot 1 1 , 5 2}) = 57 ° 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 74 ° 5 8^{'} 57 " - 57 ° 28 " = 48 ° 35 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 2 , 3 2}{1 9 , 7 5} = 3, 66

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 , 9 7 \cdot 1 3 \cdot 1 1 , 5 2}{4 \cdot 3 , 6 6 3 \cdot 1 9 , 7 4 5} = 7, 75

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník