Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 140
b = 140
c = 197,99
Obsah trojúhelníku: S = 98009,9999999949
Obvod trojúhelníku: o = 477,99
Semiperimeter (poloobvod): s = 238,995
Úhel ∠ A = α = 454,9999706944° = 45° = 0,78553976519 rad
Úhel ∠ B = β = 454,9999706944° = 45° = 0,78553976519 rad
Úhel ∠ C = γ = 900,0000586112° = 90° = 1,57107973498 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 1409,9999999999
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1409,9999999999
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 98,99548987322
Těžnice: ta = 156,52548224723
Těžnice: tb = 156,52548224723
Těžnice: tc = 98,99548987322
Poloměr vepsané kružnice: r = 41,00550419465
Poloměr opsané kružnice: R = 98,99550000001
Souřadnice vrcholů: A[197,99; 0] B[0; 0] C[98,995; 98,99548987322]
Těžiště: T[98,995; 32,99882995774]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[98,995; -00,0001012678]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[98,995; 41,00550419465]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 1355,0000293056° = 135° = 0,78553976519 rad
∠ B' = β' = 1355,0000293056° = 135° = 0,78553976519 rad
∠ C' = γ' = 909,9999413888° = 90° = 1,57107973498 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=140 b=140 c=197,99
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=140+140+197,99=477,99
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2477,99=239
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=239(239−140)(239−140)(239−197,99) S=96040000=9800
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1402⋅ 9800=140 vb=b2 S=1402⋅ 9800=140 vc=c2 S=197,992⋅ 9800=98,99
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 140⋅ 197,991402+197,992−1402)=45° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 140⋅ 197,991402+197,992−1402)=45° γ=180°−α−β=180°−45°−45°=90°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2399800=41,01
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 41,005⋅ 238,995140⋅ 140⋅ 197,99=99
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1402+2⋅ 197,992−1402=156,525 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 197,992+2⋅ 1402−1402=156,525 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1402+2⋅ 1402−197,992=98,995
Vypočítat další trojúhelník