Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 10
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 72,61884377414
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Úhel ∠ A = α = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Úhel ∠ B = β = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,68224583655
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,52436875483
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,26218437741

Těžnice: t_a = 13,91994109071
Těžnice: t_b = 16,95658249578
Těžnice: t_c = 7,90656941504

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,22774861218
Poloměr opsané kružnice: R = 10,32879555899

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[13,125; 7,26218437741]
Těžiště: T[11,04216666667; 2,42106145914]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -2,58219888975]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 3,22774861218]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ B' = β' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 10 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 10 + 20 = 45

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 15) (22, 5 - 10) (22, 5 - 20) S = 5273, 44 = 72, 62

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 2 , 6 2}{1 5} = 9, 68 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 2 , 6 2}{1 0} = 14, 52 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 2 , 6 2}{2 0} = 7, 26

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 46 ° 3 4^{'} 3 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}) = 28 ° 5 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 3 4^{'} 3 " - 28 ° 5 7^{'} 18 " = 104 ° 2 8^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 2 , 6 2}{2 2 , 5} = 3, 23

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 2 2 7 \cdot 2 2 , 5} = 10, 33

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 13, 919 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 16, 956 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 7, 906

Vypočítat další trojúhelník