Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 15
c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 57,82773291792
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Úhel ∠ A = α = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad
Úhel ∠ B = β = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad
Úhel ∠ C = γ = 30,93220199068° = 30°55'55″ = 0,54398655917 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 7,71103105572
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,71103105572
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 14,45768322948

Těžnice: t_a = 9,3944147114
Těžnice: t_b = 9,3944147114
Těžnice: t_c = 14,45768322948

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,0443543641
Poloměr opsané kružnice: R = 7,78217877185

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[4; 14,45768322948]
Těžiště: T[4; 4,81989440983]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; 6,67550445763]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 3,0443543641]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad
∠ B' = β' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad
∠ C' = γ' = 149,06879800932° = 149°4'5″ = 0,54398655917 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 15 c = 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 15 + 8 = 38

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 15) (19 - 15) (19 - 8) S = 3344 = 57, 83

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 7 , 8 3}{1 5} = 7, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 7 , 8 3}{1 5} = 7, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 7 , 8 3}{8} = 14, 46

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 8}) = 74 ° 3 2^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 8}) = 74 ° 3 2^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 74 ° 3 2^{'} 2 " - 74 ° 3 2^{'} 2 " = 30 ° 5 5^{'} 55 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 7 , 8 3}{1 9} = 3, 04

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 5 \cdot 8}{4 \cdot 3 , 0 4 4 \cdot 1 9} = 7, 78

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 9, 394 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 9, 394 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 14, 457

Vypočítat další trojúhelník