Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15,3
b = 15,3
c = 1,9

Obsah trojúhelníku: S = 14,50769541514
Obvod trojúhelníku: o = 32,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,25

Úhel ∠ A = α = 86,44401289879° = 86°26'24″ = 1,50986648567 rad
Úhel ∠ B = β = 86,44401289879° = 86°26'24″ = 1,50986648567 rad
Úhel ∠ C = γ = 7,12197420243° = 7°7'11″ = 0,12442629402 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 1,8966333876
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,8966333876
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 15,27704780541

Těžnice: t_a = 7,76770779576
Těžnice: t_b = 7,76770779576
Těžnice: t_c = 15,27704780541

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,89327356401
Poloměr opsané kružnice: R = 7,66547895099

Souřadnice vrcholů: A[1,9; 0] B[0; 0] C[0,95; 15,27704780541]
Těžiště: T[0,95; 5,09901593514]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[0,95; 7,60656885442]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,95; 0,89327356401]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 93,56598710121° = 93°33'36″ = 1,50986648567 rad
∠ B' = β' = 93,56598710121° = 93°33'36″ = 1,50986648567 rad
∠ C' = γ' = 172,88802579757° = 172°52'49″ = 0,12442629402 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15, 3 b = 15, 3 c = 1, 9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15, 3 + 15, 3 + 1, 9 = 32, 5

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2 , 5}{2} = 16, 25

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 25 (16, 25 - 15, 3) (16, 25 - 15, 3) (16, 25 - 1, 9) S = 210, 45 = 14, 51

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 1}{1 5 , 3} = 1, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 1}{1 5 , 3} = 1, 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 1}{1 , 9} = 15, 27

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 , 3 ^{2} + 1 , 9 ^{2} - 1 5 , 3 ^{2}}{2 \cdot 1 5 , 3 \cdot 1 , 9}) = 86 ° 2 6^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 , 3 ^{2} + 1 , 9 ^{2} - 1 5 , 3 ^{2}}{2 \cdot 1 5 , 3 \cdot 1 , 9}) = 86 ° 2 6^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 86 ° 2 6^{'} 24 " - 86 ° 2 6^{'} 24 " = 7 ° 7^{'} 11 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 5 1}{1 6 , 2 5} = 0, 89

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 , 3 \cdot 1 5 , 3 \cdot 1 , 9}{4 \cdot 0 , 8 9 3 \cdot 1 6 , 2 5} = 7, 66

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 , 3 ^{2} + 2 \cdot 1 , 9 ^{2} - 1 5 , 3 ^{2}}{2} = 7, 767 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 , 3 ^{2} - 1 5 , 3 ^{2}}{2} = 7, 767 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 , 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 , 3 ^{2} - 1 , 9 ^{2}}{2} = 15, 27

Vypočítat další trojúhelník