Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 164
b = 68
c = 177,54

Obsah trojúhelníku: S = 55765,999998857
Obvod trojúhelníku: o = 409,54
Semiperimeter (poloobvod): s = 204,77

Úhel ∠ A = α = 67,4788444491° = 67°28'42″ = 1,17877210305 rad
Úhel ∠ B = β = 22,52203954133° = 22°31'13″ = 0,39330550488 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,00111600957° = 90°4″ = 1,57108165743 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 687,9999999861
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1643,9999999664
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 62,81440137305

Těžnice: t_a = 106,52880517047
Těžnice: t_b = 167,48879870319
Těžnice: t_c = 88,76987281648

Poloměr vepsané kružnice: r = 27,23105513447
Poloměr opsané kružnice: R = 88,77700000182

Souřadnice vrcholů: A[177,54; 0] B[0; 0] C[151,49438932072; 62,81440137305]
Těžiště: T[109,67879644024; 20,93880045768]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[88,77; -0,00217973696]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[136,77; 27,23105513447]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 112,5221555509° = 112°31'18″ = 1,17877210305 rad
∠ B' = β' = 157,48796045867° = 157°28'47″ = 0,39330550488 rad
∠ C' = γ' = 89,99988399043° = 89°59'56″ = 1,57108165743 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 164 b = 68 c = 177, 54

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 164 + 68 + 177, 54 = 409, 54

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0 9 , 5 4}{2} = 204, 77

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 204, 77 (204, 77 - 164) (204, 77 - 68) (204, 77 - 177, 54) S = 31091775, 99 = 5576

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 7 6}{1 6 4} = 68 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 7 6}{6 8} = 164 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 7 6}{1 7 7 , 5 4} = 62, 81

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 8 ^{2} + 1 7 7 , 5 4 ^{2} - 1 6 4 ^{2}}{2 \cdot 6 8 \cdot 1 7 7 , 5 4}) = 67 ° 2 8^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 4 ^{2} + 1 7 7 , 5 4 ^{2} - 6 8 ^{2}}{2 \cdot 1 6 4 \cdot 1 7 7 , 5 4}) = 22 ° 3 1^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 67 ° 2 8^{'} 42 " - 22 ° 3 1^{'} 13 " = 90 ° 4 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 7 6}{2 0 4 , 7 7} = 27, 23

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 4 \cdot 6 8 \cdot 1 7 7 , 5 4}{4 \cdot 2 7 , 2 3 1 \cdot 2 0 4 , 7 7} = 88, 77

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 8 ^{2} + 2 \cdot 1 7 7 , 5 4 ^{2} - 1 6 4 ^{2}}{2} = 106, 528 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 7 , 5 4 ^{2} + 2 \cdot 1 6 4 ^{2} - 6 8 ^{2}}{2} = 167, 488 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 4 ^{2} + 2 \cdot 6 8 ^{2} - 1 7 7 , 5 4 ^{2}}{2} = 88, 769

Vypočítat další trojúhelník