Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 17
b = 9,07
c = 19,27

Obsah trojúhelníku: S = 77,09549981257
Obvod trojúhelníku: o = 45,34
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,67

Úhel ∠ A = α = 61,90989328826° = 61°54'32″ = 1,08105147152 rad
Úhel ∠ B = β = 28,07884329873° = 28°4'42″ = 0,49900611044 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,01326341301° = 90°45″ = 1,5711016834 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,07699997795
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 176,9999995867
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,00215566295

Těžnice: t_a = 12,43217697855
Těžnice: t_b = 17,5955460352
Těžnice: t_c = 9,63332354378

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,4010749807
Poloměr opsané kružnice: R = 9,63550002342

Souřadnice vrcholů: A[19,27; 0] B[0; 0] C[14,99991696938; 8,00215566295]
Těžiště: T[11,42330565646; 2,66771855432]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,635; -0,00221245866]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13,6; 3,4010749807]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 118,09110671174° = 118°5'28″ = 1,08105147152 rad
∠ B' = β' = 151,92215670127° = 151°55'18″ = 0,49900611044 rad
∠ C' = γ' = 89,98773658699° = 89°59'15″ = 1,5711016834 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 17 b = 9, 07 c = 19, 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 17 + 9, 07 + 19, 27 = 45, 34

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5 , 3 4}{2} = 22, 67

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 67 (22, 67 - 17) (22, 67 - 9, 07) (22, 67 - 19, 27) S = 5943, 64 = 77, 09

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 7 , 0 9}{1 7} = 9, 07 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 7 , 0 9}{9 , 0 7} = 17 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 7 , 0 9}{1 9 , 2 7} = 8

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 , 0 7 ^{2} + 1 9 , 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 9 , 0 7 \cdot 1 9 , 2 7}) = 61 ° 5 4^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 9 , 2 7 ^{2} - 9 , 0 7 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 9 , 2 7}) = 28 ° 4^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 61 ° 5 4^{'} 32 " - 28 ° 4^{'} 42 " = 90 ° 45 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 7 , 0 9}{2 2 , 6 7} = 3, 4

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 9 , 0 7 \cdot 1 9 , 2 7}{4 \cdot 3 , 4 0 1 \cdot 2 2 , 6 7} = 9, 64

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 0 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 , 2 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 12, 432 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 , 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 9 , 0 7 ^{2}}{2} = 17, 595 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 9 , 0 7 ^{2} - 1 9 , 2 7 ^{2}}{2} = 9, 633

Vypočítat další trojúhelník