Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 18
b = 27,66
c = 33

Obsah trojúhelníku: S = 248,94399992825
Obvod trojúhelníku: o = 78,66
Semiperimeter (poloobvod): s = 39,33

Úhel ∠ A = α = 33,05657310434° = 33°3'21″ = 0,57769313434 rad
Úhel ∠ B = β = 56,94986189616° = 56°56'55″ = 0,99439409053 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,9965649995° = 89°59'44″ = 1,57107204049 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 27,66599999203
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 187,9999999481
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 15,08772726838

Těžnice: t_a = 29,08767289326
Těžnice: t_b = 22,69987026061
Těžnice: t_c = 16,50111454148

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,33295194326
Poloměr opsané kružnice: R = 16.55000000476

Souřadnice vrcholů: A[33; 0] B[0; 0] C[9,81770363636; 15,08772726838]
Těžiště: T[14,27223454545; 5,02990908946]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[16,5; 0,00112527115]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,67; 6,33295194326]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,94442689566° = 146°56'39″ = 0,57769313434 rad
∠ B' = β' = 123,05113810384° = 123°3'5″ = 0,99439409053 rad
∠ C' = γ' = 90,0044350005° = 90°16″ = 1,57107204049 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 18 b = 27, 66 c = 33

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 18 + 27, 66 + 33 = 78, 66

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8 , 6 6}{2} = 39, 33

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39, 33 (39, 33 - 18) (39, 33 - 27, 66) (39, 33 - 33) S = 61971, 12 = 248, 94

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 9 4}{1 8} = 27, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 9 4}{2 7 , 6 6} = 18 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 8 , 9 4}{3 3} = 15, 09

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 , 6 6 ^{2} + 3 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 7 , 6 6 \cdot 3 3}) = 33 ° 3^{'} 21 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 3 3 ^{2} - 2 7 , 6 6 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 3 3}) = 56 ° 5 6^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 3^{'} 21 " - 56 ° 5 6^{'} 55 " = 89 ° 5 9^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 8 , 9 4}{3 9 , 3 3} = 6, 33

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 7 , 6 6 \cdot 3 3}{4 \cdot 6 , 3 3 \cdot 3 9 , 3 3} = 16, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 , 6 6 ^{2} + 2 \cdot 3 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 29, 087 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 3 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 7 , 6 6 ^{2}}{2} = 22, 699 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 7 , 6 6 ^{2} - 3 3 ^{2}}{2} = 16, 501

Vypočítat další trojúhelník