Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 18,41
b = 14,86
c = 6,51

Obsah trojúhelníku: S = 44,51102771512
Obvod trojúhelníku: o = 39,78
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,89

Úhel ∠ A = α = 113,04220978079° = 113°2'32″ = 1,97329568001 rad
Úhel ∠ B = β = 47,96880848668° = 47°58'5″ = 0,83772010168 rad
Úhel ∠ C = γ = 18,99898173252° = 18°59'23″ = 0,33114348367 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 4,83554456438
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,99106160365
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,67444323045

Těžnice: t_a = 6,84660079608
Těžnice: t_b = 11,63882644754
Těžnice: t_c = 16,41097173955

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,23878218779
Poloměr opsané kružnice: R = 10,00330697402

Souřadnice vrcholů: A[6,51; 0] B[0; 0] C[12,32663133641; 13,67444323045]
Těžiště: T[6,27987711214; 4,55881441015]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,255; 9,45986668843]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,03; 2,23878218779]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 66,95879021921° = 66°57'28″ = 1,97329568001 rad
∠ B' = β' = 132,03219151332° = 132°1'55″ = 0,83772010168 rad
∠ C' = γ' = 161,01101826748° = 161°37″ = 0,33114348367 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 18, 41 b = 14, 86 c = 6, 51

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 18, 41 + 14, 86 + 6, 51 = 39, 78

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9 , 7 8}{2} = 19, 89

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 89 (19, 89 - 18, 41) (19, 89 - 14, 86) (19, 89 - 6, 51) S = 1981, 16 = 44, 51

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 , 5 1}{1 8 , 4 1} = 4, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 , 5 1}{1 4 , 8 6} = 5, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 , 5 1}{6 , 5 1} = 13, 67

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 , 8 6 ^{2} + 6 , 5 1 ^{2} - 1 8 , 4 1 ^{2}}{2 \cdot 1 4 , 8 6 \cdot 6 , 5 1}) = 113 ° 2^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 , 4 1 ^{2} + 6 , 5 1 ^{2} - 1 4 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 1 8 , 4 1 \cdot 6 , 5 1}) = 47 ° 5 8^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 113 ° 2^{'} 32 " - 47 ° 5 8^{'} 5 " = 18 ° 5 9^{'} 23 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 , 5 1}{1 9 , 8 9} = 2, 24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 , 4 1 \cdot 1 4 , 8 6 \cdot 6 , 5 1}{4 \cdot 2 , 2 3 8 \cdot 1 9 , 8 9} = 10

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 1 ^{2} - 1 8 , 4 1 ^{2}}{2} = 6, 846 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 1 ^{2} + 2 \cdot 1 8 , 4 1 ^{2} - 1 4 , 8 6 ^{2}}{2} = 11, 638 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 , 4 1 ^{2} + 2 \cdot 1 4 , 8 6 ^{2} - 6 , 5 1 ^{2}}{2} = 16, 41

Vypočítat další trojúhelník