Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 2
b = 3,46
c = 4
Obsah trojúhelníku: S = 3,46599927153
Obvod trojúhelníku: o = 9,46
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,73
Úhel ∠ A = α = 309,9999303539° = 30° = 0,524359756 rad
Úhel ∠ B = β = 59,88224972993° = 59°52'57″ = 1,04551467422 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,11875723468° = 90°7'3″ = 1,57328483514 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 3,46599927153
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 21,9999957892
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,73299963577
Těžnice: ta = 3,60435815517
Těžnice: tb = 2,64770927449
Těžnice: tc = 1,99664468438
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,7311499517
Poloměr opsané kružnice: R = 22,0000042108
Souřadnice vrcholů: A[4; 0] B[0; 0] C[1,004355; 1,73299963577]
Těžiště: T[1,668785; 0,57766654526]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2; -0,00441040549]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,27; 0,7311499517]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 1500,0000696461° = 150° = 0,524359756 rad
∠ B' = β' = 120,11875027007° = 120°7'3″ = 1,04551467422 rad
∠ C' = γ' = 89,88224276532° = 89°52'57″ = 1,57328483514 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=3,46 c=4
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+3,46+4=9,46
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=29,46=4,73
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4,73(4,73−2)(4,73−3,46)(4,73−4) S=11,97=3,46
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 3,46=3,46 vb=b2 S=3,462⋅ 3,46=2 vc=c2 S=42⋅ 3,46=1,73
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 3,46⋅ 43,462+42−22)=30° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 422+42−3,462)=59°52′57" γ=180°−α−β=180°−30°−59°52′57"=90°7′3"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=4,733,46=0,73
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,731⋅ 4,732⋅ 3,46⋅ 4=2
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 3,462+2⋅ 42−22=3,604 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 42+2⋅ 22−3,462=2,647 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 3,462−42=1,996
Vypočítat další trojúhelník