Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2
b = 7
c = 7,61

Obsah trojúhelníku: S = 6,89114406766
Obvod trojúhelníku: o = 16,61
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,305

Úhel ∠ A = α = 14,9955090368° = 14°59'42″ = 0,26217136986 rad
Úhel ∠ B = β = 64,90111025069° = 64°54'4″ = 1,13327379269 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,10438071251° = 100°6'14″ = 1,74771410281 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,89114406766
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,96989830505
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,81111539229

Těžnice: t_a = 7,24326549
Těžnice: t_b = 4,32550491327
Těžnice: t_c = 3,46772719824

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,83297941814
Poloměr opsané kružnice: R = 3,86549393138

Souřadnice vrcholů: A[7,61; 0] B[0; 0] C[0,84883639947; 1,81111539229]
Těžiště: T[2,81994546649; 0,60437179743]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,805; -0,67880345858]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,305; 0,83297941814]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,0054909632° = 165°18″ = 0,26217136986 rad
∠ B' = β' = 115,09988974931° = 115°5'56″ = 1,13327379269 rad
∠ C' = γ' = 79,89661928749° = 79°53'46″ = 1,74771410281 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 7 c = 7, 61

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 7 + 7, 61 = 16, 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 , 6 1}{2} = 8, 31

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 31 (8, 31 - 2) (8, 31 - 7) (8, 31 - 7, 61) S = 47, 49 = 6, 89

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 8 9}{2} = 6, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 8 9}{7} = 1, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 8 9}{7 , 6 1} = 1, 81

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 7 , 6 1 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 7 , 6 1}) = 14 ° 5 9^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 7 , 6 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 7 , 6 1}) = 64 ° 5 4^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 5 9^{'} 42 " - 64 ° 5 4^{'} 4 " = 100 ° 6^{'} 14 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 , 8 9}{8 , 3 1} = 0, 83

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 7 , 6 1}{4 \cdot 0 , 8 3 \cdot 8 , 3 0 5} = 3, 86

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 7 , 6 1 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 7, 243 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 6 1 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 325 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 7 , 6 1 ^{2}}{2} = 3, 467

Vypočítat další trojúhelník