Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2,94
b = 1,29
c = 2,16

Obsah trojúhelníku: S = 1,26774276762
Obvod trojúhelníku: o = 6,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,195

Úhel ∠ A = α = 114,53327420516° = 114°31'58″ = 1,99989734501 rad
Úhel ∠ B = β = 23,52659686628° = 23°31'33″ = 0,41106056129 rad
Úhel ∠ C = γ = 41,94112892856° = 41°56'29″ = 0,73220135906 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,86221956981
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,96550041491
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,17435441446

Těžnice: t_a = 1,00219730535
Těžnice: t_b = 2,49877139548
Těžnice: t_c = 1,99768600352

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,39766909785
Poloměr opsané kružnice: R = 1,61658744506

Souřadnice vrcholů: A[2,16; 0] B[0; 0] C[2,6965625; 1,17435441446]
Těžiště: T[1,61985416667; 0,39111813815]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,08; 1,20219360383]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,905; 0,39766909785]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 65,46772579484° = 65°28'2″ = 1,99989734501 rad
∠ B' = β' = 156,47440313372° = 156°28'27″ = 0,41106056129 rad
∠ C' = γ' = 138,05987107144° = 138°3'31″ = 0,73220135906 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2, 94 b = 1, 29 c = 2, 16

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2, 94 + 1, 29 + 2, 16 = 6, 39

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 , 3 9}{2} = 3, 2

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 2 (3, 2 - 2, 94) (3, 2 - 1, 29) (3, 2 - 2, 16) S = 1, 61 = 1, 27

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 2 7}{2 , 9 4} = 0, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 2 7}{1 , 2 9} = 1, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 2 7}{2 , 1 6} = 1, 17

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 2 9 ^{2} + 2 , 1 6 ^{2} - 2 , 9 4 ^{2}}{2 \cdot 1 , 2 9 \cdot 2 , 1 6}) = 114 ° 3 1^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 , 9 4 ^{2} + 2 , 1 6 ^{2} - 1 , 2 9 ^{2}}{2 \cdot 2 , 9 4 \cdot 2 , 1 6}) = 23 ° 3 1^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 114 ° 3 1^{'} 58 " - 23 ° 3 1^{'} 33 " = 41 ° 5 6^{'} 29 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 2 7}{3 , 2} = 0, 4

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 , 9 4 \cdot 1 , 2 9 \cdot 2 , 1 6}{4 \cdot 0 , 3 9 7 \cdot 3 , 1 9 5} = 1, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 , 1 6 ^{2} - 2 , 9 4 ^{2}}{2} = 1, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 9 4 ^{2} - 1 , 2 9 ^{2}}{2} = 2, 498 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 9 4 ^{2} + 2 \cdot 1 , 2 9 ^{2} - 2 , 1 6 ^{2}}{2} = 1, 997

Vypočítat další trojúhelník