Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 20,86
b = 55,31
c = 68,06

Obsah trojúhelníku: S = 501,87550553601
Obvod trojúhelníku: o = 144,23
Semiperimeter (poloobvod): s = 72,115

Úhel ∠ A = α = 15,46545962963° = 15°27'53″ = 0,27699081229 rad
Úhel ∠ B = β = 44,99113408914° = 44°59'29″ = 0,78552470334 rad
Úhel ∠ C = γ = 119,54440628123° = 119°32'39″ = 2,08664374973 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 48,1188413745
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 18,14877148928
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 14,74880180829

Těžnice: t_a = 61,1330147636
Těžnice: t_b = 42,05877290756
Těžnice: t_c = 24,27219374999

Poloměr vepsané kružnice: r = 6,95993712176
Poloměr opsané kružnice: R = 39,11659881116

Souřadnice vrcholů: A[68,06; 0] B[0; 0] C[14,75224764913; 14,74880180829]
Těžiště: T[27,60441588304; 4,91660060276]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[34,03; -19,28878102943]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[16,805; 6,95993712176]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,53554037037° = 164°32'7″ = 0,27699081229 rad
∠ B' = β' = 135,00986591086° = 135°31″ = 0,78552470334 rad
∠ C' = γ' = 60,45659371878° = 60°27'21″ = 2,08664374973 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 20, 86 b = 55, 31 c = 68, 06

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 20, 86 + 55, 31 + 68, 06 = 144, 23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 4 , 2 3}{2} = 72, 12

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 72, 12 (72, 12 - 20, 86) (72, 12 - 55, 31) (72, 12 - 68, 06) S = 251878, 57 = 501, 88

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 0 1 , 8 8}{2 0 , 8 6} = 48, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 0 1 , 8 8}{5 5 , 3 1} = 18, 15 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 0 1 , 8 8}{6 8 , 0 6} = 14, 75

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 5 , 3 1 ^{2} + 6 8 , 0 6 ^{2} - 2 0 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 5 5 , 3 1 \cdot 6 8 , 0 6}) = 15 ° 2 7^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 , 8 6 ^{2} + 6 8 , 0 6 ^{2} - 5 5 , 3 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 , 8 6 \cdot 6 8 , 0 6}) = 44 ° 5 9^{'} 29 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 2 7^{'} 53 " - 44 ° 5 9^{'} 29 " = 119 ° 3 2^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 0 1 , 8 8}{7 2 , 1 2} = 6, 96

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 , 8 6 \cdot 5 5 , 3 1 \cdot 6 8 , 0 6}{4 \cdot 6 , 9 5 9 \cdot 7 2 , 1 1 5} = 39, 12

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 1 ^{2} + 2 \cdot 6 8 , 0 6 ^{2} - 2 0 , 8 6 ^{2}}{2} = 61, 13 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 8 , 0 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 , 8 6 ^{2} - 5 5 , 3 1 ^{2}}{2} = 42, 058 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 5 5 , 3 1 ^{2} - 6 8 , 0 6 ^{2}}{2} = 24, 272

Vypočítat další trojúhelník