Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 200
b = 190
c = 293,11

Obsah trojúhelníku: S = 18840,9399077814
Obvod trojúhelníku: o = 683,11
Semiperimeter (poloobvod): s = 341,555

Úhel ∠ A = α = 42,58105003255° = 42°34'50″ = 0,74331699278 rad
Úhel ∠ B = β = 400,0004885349° = 40°2″ = 0,69881402273 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,41990111395° = 97°25'8″ = 1.77002824984 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 188,40993907781
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 198,32656745033
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 128,55988282748

Těžnice: t_a = 225,84767091857
Těžnice: t_b = 232,23220736892
Těžnice: t_c = 128,73108509061

Poloměr vepsané kružnice: r = 55,16222405698
Poloměr opsané kružnice: R = 147,79222617604

Souřadnice vrcholů: A[293,11; 0] B[0; 0] C[153,2087792467; 128,55988282748]
Těžiště: T[148,7732597489; 42,85329427583]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[146,555; -19,08436215445]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[151,555; 55,16222405698]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 137,41994996745° = 137°25'10″ = 0,74331699278 rad
∠ B' = β' = 1409,9995114651° = 139°59'58″ = 0,69881402273 rad
∠ C' = γ' = 82,58109888605° = 82°34'52″ = 1.77002824984 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 200 b = 190 c = 293, 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 200 + 190 + 293, 11 = 683, 11

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8 3 , 1 1}{2} = 341, 56

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 341, 56 (341, 56 - 200) (341, 56 - 190) (341, 56 - 293, 11) S = 354980985, 33 = 18840, 94

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9 4}{2 0 0} = 188, 41 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9 4}{1 9 0} = 198, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9 4}{2 9 3 , 1 1} = 128, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 42 ° 3 4^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 40 ° 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 3 4^{'} 50 " - 40 ° 2 " = 97 ° 2 5^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 8 4 0 , 9 4}{3 4 1 , 5 6} = 55, 16

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 0 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}{4 \cdot 5 5 , 1 6 2 \cdot 3 4 1 , 5 5 5} = 147, 79

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2} = 225, 847 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 0 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 232, 232 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 2 9 3 , 1 1 ^{2}}{2} = 128, 731

Vypočítat další trojúhelník