Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 22
b = 9
c = 23,9

Obsah trojúhelníku: S = 98,98878262401
Obvod trojúhelníku: o = 54,9
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,45

Úhel ∠ A = α = 66,98330028931° = 66°58'59″ = 1,16990739434 rad
Úhel ∠ B = β = 22,11884582794° = 22°7'6″ = 0,38660399224 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,89985388275° = 90°53'55″ = 1,58664787878 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,99988932946
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 21,997729472
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,28435001038

Těžnice: t_a = 14,32114873529
Těžnice: t_b = 22,52545421707
Těžnice: t_c = 11,81993696955

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,60661138885
Poloměr opsané kružnice: R = 11,95114696396

Souřadnice vrcholů: A[23,9; 0] B[0; 0] C[20,38109623431; 8,28435001038]
Těžiště: T[14,7660320781; 2,76111667013]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,95; -0,18774207739]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[18,45; 3,60661138885]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 113,01769971069° = 113°1'1″ = 1,16990739434 rad
∠ B' = β' = 157,88215417206° = 157°52'54″ = 0,38660399224 rad
∠ C' = γ' = 89,10114611725° = 89°6'5″ = 1,58664787878 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 22 b = 9 c = 23, 9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 22 + 9 + 23, 9 = 54, 9

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4 , 9}{2} = 27, 45

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 9}{2 2} = 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 9}{9} = 22 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 9}{2 3 , 9} = 8, 28

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 3 , 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 3 , 9}) = 66 ° 5 8^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 3 , 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 3 , 9}) = 22 ° 7^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 66 ° 5 8^{'} 59 " - 22 ° 7^{'} 6 " = 90 ° 5 3^{'} 55 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 8 , 9 9}{2 7 , 4 5} = 3, 61

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 9 \cdot 2 3 , 9}{4 \cdot 3 , 6 0 6 \cdot 2 7 , 4 5} = 11, 95

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník