Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 244
b = 246
c = 346,49

Obsah trojúhelníku: S = 300121,999988522
Obvod trojúhelníku: o = 836,49
Semiperimeter (poloobvod): s = 418,245

Úhel ∠ A = α = 44,76553551431° = 44°45'55″ = 0,78113028381 rad
Úhel ∠ B = β = 45,23330602598° = 45°13'59″ = 0,78994658323 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,00215845971° = 90°6″ = 1,57108239832 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 2465,9999999059
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2443,9999999067
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 173,2344436714

Těžnice: t_a = 274,5943627111
Těžnice: t_b = 273,25220083183
Těžnice: t_c = 173,24402088864

Poloměr vepsané kružnice: r = 71,75769845151
Poloměr opsané kružnice: R = 173,24550000663

Souřadnice vrcholů: A[346,49; 0] B[0; 0] C[171,83108177725; 173,2344436714]
Těžiště: T[172,77436059242; 57,7454812238]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[173,245; -0,00547913395]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[172,245; 71,75769845151]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,23546448569° = 135°14'5″ = 0,78113028381 rad
∠ B' = β' = 134,76769397402° = 134°46'1″ = 0,78994658323 rad
∠ C' = γ' = 89,99884154029° = 89°59'54″ = 1,57108239832 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 244 b = 246 c = 346, 49

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 244 + 246 + 346, 49 = 836, 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 3 6 , 4 9}{2} = 418, 25

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 418, 25 (418, 25 - 244) (418, 25 - 246) (418, 25 - 346, 49) S = 900720143, 31 = 30012

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 0 0 1 2}{2 4 4} = 246 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 0 0 1 2}{2 4 6} = 244 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 0 0 1 2}{3 4 6 , 4 9} = 173, 23

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 6 ^{2} + 3 4 6 , 4 9 ^{2} - 2 4 4 ^{2}}{2 \cdot 2 4 6 \cdot 3 4 6 , 4 9}) = 44 ° 4 5^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 4 4 ^{2} + 3 4 6 , 4 9 ^{2} - 2 4 6 ^{2}}{2 \cdot 2 4 4 \cdot 3 4 6 , 4 9}) = 45 ° 1 3^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 4 5^{'} 55 " - 45 ° 1 3^{'} 59 " = 90 ° 6 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 0 0 1 2}{4 1 8 , 2 5} = 71, 76

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 4 4 \cdot 2 4 6 \cdot 3 4 6 , 4 9}{4 \cdot 7 1 , 7 5 7 \cdot 4 1 8 , 2 4 5} = 173, 25

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 6 ^{2} + 2 \cdot 3 4 6 , 4 9 ^{2} - 2 4 4 ^{2}}{2} = 274, 594 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 6 , 4 9 ^{2} + 2 \cdot 2 4 4 ^{2} - 2 4 6 ^{2}}{2} = 273, 252 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 4 ^{2} + 2 \cdot 2 4 6 ^{2} - 3 4 6 , 4 9 ^{2}}{2} = 173, 24

Vypočítat další trojúhelník