Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 25,87
b = 43,11
c = 45,99

Obsah trojúhelníku: S = 548,00221664452
Obvod trojúhelníku: o = 114,97
Semiperimeter (poloobvod): s = 57,485

Úhel ∠ A = α = 33,56595629659° = 33°33'34″ = 0,58657248693 rad
Úhel ∠ B = β = 67,1021681592° = 67°6'6″ = 1,17111452774 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,33987554421° = 79°20'20″ = 1,38547225069 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 42,36658420135
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 25,42334361608
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 23,83113618806

Těžnice: t_a = 42,65551506269
Těžnice: t_b = 30,45657133392
Těžnice: t_c = 27,11326257489

Poloměr vepsané kružnice: r = 9,53329593189
Poloměr opsané kružnice: R = 23,39989082451

Souřadnice vrcholů: A[45,99; 0] B[0; 0] C[10,06659371603; 23,83113618806]
Těžiště: T[18,68553123868; 7,94437872935]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[22,995; 4,32988430396]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,375; 9,53329593189]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,44404370341° = 146°26'26″ = 0,58657248693 rad
∠ B' = β' = 112,8988318408° = 112°53'54″ = 1,17111452774 rad
∠ C' = γ' = 100,66112445579° = 100°39'40″ = 1,38547225069 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 25, 87 b = 43, 11 c = 45, 99

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 25, 87 + 43, 11 + 45, 99 = 114, 97

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 4 , 9 7}{2} = 57, 49

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 4 8}{2 5 , 8 7} = 42, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 4 8}{4 3 , 1 1} = 25, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 4 8}{4 5 , 9 9} = 23, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 4 8}{5 7 , 4 9} = 9, 53

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 5 , 8 7 \cdot 4 3 , 1 1 \cdot 4 5 , 9 9}{4 \cdot 9 , 5 3 3 \cdot 5 7 , 4 8 5} = 23, 4

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník