Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 26
b = 24,94
c = 36,03

Obsah trojúhelníku: S = 324,22199976151
Obvod trojúhelníku: o = 86,97
Semiperimeter (poloobvod): s = 43,485

Úhel ∠ A = α = 46,18884647981° = 46°11'18″ = 0,80661407872 rad
Úhel ∠ B = β = 43,80545857338° = 43°48'17″ = 0,76545342485 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,00769494681° = 90°25″ = 1,57109176179 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24,94399998165
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 265,9999998088
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 17,99772244027

Těžnice: t_a = 28,12661844195
Těžnice: t_b = 28,83771210422
Těžnice: t_c = 18,01328169646

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,456590428
Poloměr opsané kružnice: R = 18,01550001325

Souřadnice vrcholů: A[36,03; 0] B[0; 0] C[18,7644325562; 17,99772244027]
Těžiště: T[18,26547751873; 5,99990748009]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[18,015; -0,00221850592]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[18,545; 7,456590428]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 133,81215352019° = 133°48'42″ = 0,80661407872 rad
∠ B' = β' = 136,19554142662° = 136°11'43″ = 0,76545342485 rad
∠ C' = γ' = 89,99330505319° = 89°59'35″ = 1,57109176179 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 26 b = 24, 94 c = 36, 03

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 26 + 24, 94 + 36, 03 = 86, 97

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 6 , 9 7}{2} = 43, 49

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 43, 49 (43, 49 - 26) (43, 49 - 24, 94) (43, 49 - 36, 03) S = 105118, 61 = 324, 22

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 2 4 , 2 2}{2 6} = 24, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 2 4 , 2 2}{2 4 , 9 4} = 26 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 2 4 , 2 2}{3 6 , 0 3} = 18

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 , 9 4 ^{2} + 3 6 , 0 3 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 4 , 9 4 \cdot 3 6 , 0 3}) = 46 ° 1 1^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 3 6 , 0 3 ^{2} - 2 4 , 9 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 3 6 , 0 3}) = 43 ° 4 8^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 1 1^{'} 18 " - 43 ° 4 8^{'} 17 " = 90 ° 25 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 2 4 , 2 2}{4 3 , 4 9} = 7, 46

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 6 \cdot 2 4 , 9 4 \cdot 3 6 , 0 3}{4 \cdot 7 , 4 5 6 \cdot 4 3 , 4 8 5} = 18, 02

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 4 ^{2} + 2 \cdot 3 6 , 0 3 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 28, 126 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 , 0 3 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 4 , 9 4 ^{2}}{2} = 28, 837 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 4 , 9 4 ^{2} - 3 6 , 0 3 ^{2}}{2} = 18, 013

Vypočítat další trojúhelník