Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 27 b = 16 c = 18

Obsah trojúhelníku: S = 139,09986610288
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Úhel ∠ A = α = 104,99217853794° = 104°59'30″ = 1,83224523424 rad
Úhel ∠ B = β = 34,91993255344° = 34°55'10″ = 0,60994572032 rad
Úhel ∠ C = γ = 40,08988890862° = 40°5'20″ = 0.7699683108 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 10,30436045207
Výška trojúhelníku: v_b = 17,38773326286
Výška trojúhelníku: v_c = 15,4555406781

Těžnice: t_a = 10,3880269746
Těžnice: t_b = 21,50658131676
Těžnice: t_c = 20,28554627751

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,5610611837
Poloměr opsané kružnice: R = 13,97656916826

Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[22,13988888889; 15,4555406781]
Těžiště: T[13,38796296296; 5,15218022603]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 10,69220511599]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,5; 4,5610611837]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 75,00882146206° = 75°30″ = 1,83224523424 rad
∠ B' = β' = 145,08106744656° = 145°4'50″ = 0,60994572032 rad
∠ C' = γ' = 139,91111109138° = 139°54'40″ = 0.7699683108 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 27 b = 16 c = 18

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 27 + 16 + 18 = 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 27) (30, 5 - 16) (30, 5 - 18) S = 19348, 44 = 139, 1

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 9 , 1}{2 7} = 10, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 9 , 1}{1 6} = 17, 39 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 9 , 1}{1 8} = 15, 46

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 8 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 8}) = 104 ° 5 9^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 1 8}) = 34 ° 5 5^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 104 ° 5 9^{'} 30 " - 34 ° 5 5^{'} 10 " = 40 ° 5^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 9 , 1}{3 0 , 5} = 4, 56

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 7 \cdot 1 6 \cdot 1 8}{4 \cdot 4 , 5 6 1 \cdot 3 0 , 5} = 13, 98

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 10, 38 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 21, 506 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 20, 285

Vypočítat další trojúhelník