Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 271
b = 356
c = 163,73

Obsah trojúhelníku: S = 21174,1222246688
Obvod trojúhelníku: o = 790,73
Semiperimeter (poloobvod): s = 395,365

Úhel ∠ A = α = 46,59767772225° = 46°35'48″ = 0,81332671834 rad
Úhel ∠ B = β = 107,36662476586° = 107°21'58″ = 1,87438945272 rad
Úhel ∠ C = γ = 26,03769751189° = 26°2'13″ = 0,45444309431 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 156,26765848464
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 118,95657429589
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 258,64768239991

Těžnice: t_a = 241,68547253138
Těžnice: t_b = 135,79549058323
Těžnice: t_c = 305,59222475702

Poloměr vepsané kružnice: r = 53,55658844275
Poloměr opsané kružnice: R = 186,50114201766

Souřadnice vrcholů: A[163,73; 0] B[0; 0] C[-80,88877026202; 258,64768239991]
Těžiště: T[27,61440991266; 86,21656079997]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[81,865; 167,57435704187]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[39,365; 53,55658844275]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 133,40332227775° = 133°24'12″ = 0,81332671834 rad
∠ B' = β' = 72,63437523414° = 72°38'2″ = 1,87438945272 rad
∠ C' = γ' = 153,96330248811° = 153°57'47″ = 0,45444309431 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 271 b = 356 c = 163, 73

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 271 + 356 + 163, 73 = 790, 73

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 9 0 , 7 3}{2} = 395, 37

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 395, 37 (395, 37 - 271) (395, 37 - 356) (395, 37 - 163, 73) S = 448343452, 92 = 21174, 12

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 1 7 4 , 1 2}{2 7 1} = 156, 27 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 1 7 4 , 1 2}{3 5 6} = 118, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 1 7 4 , 1 2}{1 6 3 , 7 3} = 258, 65

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 5 6 ^{2} + 1 6 3 , 7 3 ^{2} - 2 7 1 ^{2}}{2 \cdot 3 5 6 \cdot 1 6 3 , 7 3}) = 46 ° 3 5^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 7 1 ^{2} + 1 6 3 , 7 3 ^{2} - 3 5 6 ^{2}}{2 \cdot 2 7 1 \cdot 1 6 3 , 7 3}) = 107 ° 2 1^{'} 58 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 3 5^{'} 48 " - 107 ° 2 1^{'} 58 " = 26 ° 2^{'} 13 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 1 7 4 , 1 2}{3 9 5 , 3 7} = 53, 56

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 7 1 \cdot 3 5 6 \cdot 1 6 3 , 7 3}{4 \cdot 5 3 , 5 5 6 \cdot 3 9 5 , 3 6 5} = 186, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 5 6 ^{2} + 2 \cdot 1 6 3 , 7 3 ^{2} - 2 7 1 ^{2}}{2} = 241, 685 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 3 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 1 ^{2} - 3 5 6 ^{2}}{2} = 135, 795 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 1 ^{2} + 2 \cdot 3 5 6 ^{2} - 1 6 3 , 7 3 ^{2}}{2} = 305, 592

Vypočítat další trojúhelník