Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 29
b = 29
c = 38

Obsah trojúhelníku: S = 416,26991437039
Obvod trojúhelníku: o = 96
Semiperimeter (poloobvod): s = 48

Úhel ∠ A = α = 49,06772754258° = 49°4'2″ = 0,85663855112 rad
Úhel ∠ B = β = 49,06772754258° = 49°4'2″ = 0,85663855112 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,86554491483° = 81°51'56″ = 1,42988216313 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 28,70882168072
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 28,70882168072
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 21,90989023002

Těžnice: t_a = 30,53327692815
Těžnice: t_b = 30,53327692815
Těžnice: t_c = 21,90989023002

Poloměr vepsané kružnice: r = 8,67222738272
Poloměr opsané kružnice: R = 19,19331112859

Souřadnice vrcholů: A[38; 0] B[0; 0] C[19; 21,90989023002]
Těžiště: T[19; 7,30329674334]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[19; 2,71657910143]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[19; 8,67222738272]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,93327245742° = 130°55'58″ = 0,85663855112 rad
∠ B' = β' = 130,93327245742° = 130°55'58″ = 0,85663855112 rad
∠ C' = γ' = 98,13545508517° = 98°8'4″ = 1,42988216313 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 29 b = 29 c = 38

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 29 + 29 + 38 = 96

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{9 6}{2} = 48

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 48 (48 - 29) (48 - 29) (48 - 38) S = 173280 = 416, 27

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 6 , 2 7}{2 9} = 28, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 6 , 2 7}{2 9} = 28, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 6 , 2 7}{3 8} = 21, 91

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 9 ^{2} + 3 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2 \cdot 2 9 \cdot 3 8}) = 49 ° 4^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 9 ^{2} + 3 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2 \cdot 2 9 \cdot 3 8}) = 49 ° 4^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 4^{'} 2 " - 49 ° 4^{'} 2 " = 81 ° 5 1^{'} 56 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 6 , 2 7}{4 8} = 8, 67

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 9 \cdot 2 9 \cdot 3 8}{4 \cdot 8 , 6 7 2 \cdot 4 8} = 19, 19

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 3 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 30, 533 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 30, 533 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 3 8 ^{2}}{2} = 21, 909

Vypočítat další trojúhelník