Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 1,35
c = 2,26

Obsah trojúhelníku: S = 1,4355050478
Obvod trojúhelníku: o = 6,61
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,305

Úhel ∠ A = α = 109,82991553673° = 109°49'45″ = 1,91768803758 rad
Úhel ∠ B = β = 25,04442905067° = 25°2'39″ = 0,43771053282 rad
Úhel ∠ C = γ = 45,1276554126° = 45°7'36″ = 0,78876069496 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,95767003187
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,12660007081
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,27699561752

Těžnice: t_a = 1,10222930645
Těžnice: t_b = 2,5698691301
Těžnice: t_c = 2,03333101092

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,43442058935
Poloměr opsané kružnice: R = 1,5954543213

Souřadnice vrcholů: A[2,26; 0] B[0; 0] C[2,71879424779; 1,27699561752]
Těžiště: T[1,65993141593; 0,42333187251]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,13; 1,12550191368]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,955; 0,43442058935]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 70,17108446327° = 70°10'15″ = 1,91768803758 rad
∠ B' = β' = 154,95657094933° = 154°57'21″ = 0,43771053282 rad
∠ C' = γ' = 134,8733445874° = 134°52'24″ = 0,78876069496 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 1, 35 c = 2, 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 1, 35 + 2, 26 = 6, 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 , 6 1}{2} = 3, 31

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 31 (3, 31 - 3) (3, 31 - 1, 35) (3, 31 - 2, 26) S = 2, 06 = 1, 44

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 4 4}{3} = 0, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 4 4}{1 , 3 5} = 2, 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 4 4}{2 , 2 6} = 1, 27

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 3 5 ^{2} + 2 , 2 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 , 3 5 \cdot 2 , 2 6}) = 109 ° 4 9^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 2 , 2 6 ^{2} - 1 , 3 5 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 2 , 2 6}) = 25 ° 2^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 109 ° 4 9^{'} 45 " - 25 ° 2^{'} 39 " = 45 ° 7^{'} 36 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 4 4}{3 , 3 1} = 0, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 , 3 5 \cdot 2 , 2 6}{4 \cdot 0 , 4 3 4 \cdot 3 , 3 0 5} = 1, 59

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 3 5 ^{2} + 2 \cdot 2 , 2 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 1, 102 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 2 6 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 , 3 5 ^{2}}{2} = 2, 569 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 , 3 5 ^{2} - 2 , 2 6 ^{2}}{2} = 2, 033

Vypočítat další trojúhelník