Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 4,55
c = 5,45

Obsah trojúhelníku: S = 6,825
Obvod trojúhelníku: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Úhel ∠ A = α = 33,3988488468° = 33°23'55″ = 0,5832913589 rad
Úhel ∠ B = β = 56,6021511532° = 56°36'5″ = 0,98878827378 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 4,55
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,5054587156

Těžnice: t_a = 4,79108767465
Těžnice: t_b = 3,76550531205
Těžnice: t_c = 2,725

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,05
Poloměr opsané kružnice: R = 2,725

Souřadnice vrcholů: A[5,45; 0] B[0; 0] C[1,65113761468; 2,5054587156]
Těžiště: T[2,36771253823; 0,83548623853]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,725; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,95; 1,05]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,6021511532° = 146°36'5″ = 0,5832913589 rad
∠ B' = β' = 123,3988488468° = 123°23'55″ = 0,98878827378 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 4, 55 c = 5, 45

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 4, 55 + 5, 45 = 13

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3}{2} = 6, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6, 5 (6, 5 - 3) (6, 5 - 4, 55) (6, 5 - 5, 45) S = 46, 58 = 6, 83

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 8 3}{3} = 4, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 8 3}{4 , 5 5} = 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 8 3}{5 , 4 5} = 2, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 , 5 5 ^{2} + 5 , 4 5 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 4 , 5 5 \cdot 5 , 4 5}) = 33 ° 2 3^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 5 , 4 5 ^{2} - 4 , 5 5 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5 , 4 5}) = 56 ° 3 6^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 2 3^{'} 55 " - 56 ° 3 6^{'} 5 " = 90 °

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 , 8 3}{6 , 5} = 1, 05

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 4 , 5 5 \cdot 5 , 4 5}{4 \cdot 1 , 0 5 \cdot 6 , 5} = 2, 73

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 5 , 4 5 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 4, 791 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 4 5 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 4 , 5 5 ^{2}}{2} = 3, 765 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 4 , 5 5 ^{2} - 5 , 4 5 ^{2}}{2} = 2, 725

Vypočítat další trojúhelník