Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 5
c = 5,83

Obsah trojúhelníku: S = 7.54999994866
Obvod trojúhelníku: o = 13,83
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,915

Úhel ∠ A = α = 30,96993673338° = 30°58'10″ = 0,54105174272 rad
Úhel ∠ B = β = 59,05218321051° = 59°3'7″ = 1,03106488996 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,97988005611° = 89°58'44″ = 1,57704263268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 54,9999996577
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 32,9999997946
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,57328986232

Těžnice: t_a = 5,22196216338
Těžnice: t_b = 3,90444141686
Těžnice: t_c = 2,91659518172

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,08545986242
Poloměr opsané kružnice: R = 2,91550001995

Souřadnice vrcholů: A[5,83; 0] B[0; 0] C[1,5432787307; 2,57328986232]
Těžiště: T[2,4587595769; 0,85876328744]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,915; 0,00110785501]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,915; 1,08545986242]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,03106326662° = 149°1'50″ = 0,54105174272 rad
∠ B' = β' = 120,94881678949° = 120°56'53″ = 1,03106488996 rad
∠ C' = γ' = 90,02111994389° = 90°1'16″ = 1,57704263268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 5 c = 5, 83

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 5 + 5, 83 = 13, 83

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3 , 8 3}{2} = 6, 92

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6, 92 (6, 92 - 3) (6, 92 - 5) (6, 92 - 5, 83) S = 56, 25 = 7, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 , 5}{3} = 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 , 5}{5} = 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 , 5}{5 , 8 3} = 2, 57

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 5 , 8 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5 , 8 3}) = 30 ° 5 8^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 5 , 8 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5 , 8 3}) = 59 ° 3^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 5 8^{'} 10 " - 59 ° 3^{'} 7 " = 89 ° 5 8^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 , 5}{6 , 9 2} = 1, 08

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5 , 8 3}{4 \cdot 1 , 0 8 5 \cdot 6 , 9 1 5} = 2, 92

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 5 , 8 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 5, 22 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 8 3 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 3, 904 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 5 , 8 3 ^{2}}{2} = 2, 916

Vypočítat další trojúhelník