Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 6
c = 7,57

Obsah trojúhelníku: S = 8,45879453622
Obvod trojúhelníku: o = 16,57
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,285

Úhel ∠ A = α = 21,86657232273° = 21°51'57″ = 0,38216288636 rad
Úhel ∠ B = β = 48,14875296217° = 48°8'51″ = 0,84403329186 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,9876747151° = 109°59'12″ = 1,92196308713 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,63986302414
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,81993151207
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,23545958685

Těžnice: t_a = 6,6643516339
Těžnice: t_b = 4,91545142181
Těžnice: t_c = 2,8598981462

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,02108745157
Poloměr opsané kružnice: R = 4,02875739014

Souřadnice vrcholů: A[7,57; 0] B[0; 0] C[2,00216446499; 2,23545958685]
Těžiště: T[3,19105482166; 0,74548652895]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,785; -1,37766359472]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,285; 1,02108745157]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,13442767728° = 158°8'3″ = 0,38216288636 rad
∠ B' = β' = 131,85224703783° = 131°51'9″ = 0,84403329186 rad
∠ C' = γ' = 70,0133252849° = 70°48″ = 1,92196308713 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 6 c = 7, 57

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 6 + 7, 57 = 16, 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 , 5 7}{2} = 8, 29

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 29 (8, 29 - 3) (8, 29 - 6) (8, 29 - 7, 57) S = 71, 54 = 8, 46

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 , 4 6}{3} = 5, 64 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 , 4 6}{6} = 2, 82 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 , 4 6}{7 , 5 7} = 2, 23

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 7 , 5 7 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 7 , 5 7}) = 21 ° 5 1^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 7 , 5 7 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 7 , 5 7}) = 48 ° 8^{'} 51 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 5 1^{'} 57 " - 48 ° 8^{'} 51 " = 109 ° 5 9^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 , 4 6}{8 , 2 9} = 1, 02

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 6 \cdot 7 , 5 7}{4 \cdot 1 , 0 2 1 \cdot 8 , 2 8 5} = 4, 03

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 7 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 6, 664 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 7 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 4, 915 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 7 , 5 7 ^{2}}{2} = 2, 859

Vypočítat další trojúhelník