Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3,1
b = 7,85
c = 8,44

Obsah trojúhelníku: S = 12,16774999969
Obvod trojúhelníku: o = 19,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,695

Úhel ∠ A = α = 21,5499109765° = 21°32'57″ = 0,37661029163 rad
Úhel ∠ B = β = 68,45495952821° = 68°26'59″ = 1,19546708093 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,00112949529° = 90°5″ = 1,5710818928 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 7,8549999998
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3.10999999992
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,88332938381

Těžnice: t_a = 8,00215967157
Těžnice: t_b = 5,00216172385
Těžnice: t_c = 4,22199348336

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,25550283648
Poloměr opsané kružnice: R = 4,22200000011

Souřadnice vrcholů: A[8,44; 0] B[0; 0] C[1,13986907583; 2,88332938381]
Těžiště: T[3,19328969194; 0,9611097946]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,22; -09,5377E-5]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,845; 1,25550283648]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,4510890235° = 158°27'3″ = 0,37661029163 rad
∠ B' = β' = 111,55504047179° = 111°33'1″ = 1,19546708093 rad
∠ C' = γ' = 89,99987050471° = 89°59'55″ = 1,5710818928 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3, 1 b = 7, 85 c = 8, 44

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3, 1 + 7, 85 + 8, 44 = 19, 39

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 , 3 9}{2} = 9, 7

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 7 (9, 7 - 3, 1) (9, 7 - 7, 85) (9, 7 - 8, 44) S = 148, 05 = 12, 17

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 7}{3 , 1} = 7, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 7}{7 , 8 5} = 3, 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 7}{8 , 4 4} = 2, 88

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 8 5 ^{2} + 8 , 4 4 ^{2} - 3 , 1 ^{2}}{2 \cdot 7 , 8 5 \cdot 8 , 4 4}) = 21 ° 3 2^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 , 1 ^{2} + 8 , 4 4 ^{2} - 7 , 8 5 ^{2}}{2 \cdot 3 , 1 \cdot 8 , 4 4}) = 68 ° 2 6^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 3 2^{'} 57 " - 68 ° 2 6^{'} 59 " = 90 ° 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 , 1 7}{9 , 7} = 1, 26

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 , 1 \cdot 7 , 8 5 \cdot 8 , 4 4}{4 \cdot 1 , 2 5 5 \cdot 9 , 6 9 5} = 4, 22

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 8 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 4 4 ^{2} - 3 , 1 ^{2}}{2} = 8, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 4 4 ^{2} + 2 \cdot 3 , 1 ^{2} - 7 , 8 5 ^{2}}{2} = 5, 002 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 1 ^{2} + 2 \cdot 7 , 8 5 ^{2} - 8 , 4 4 ^{2}}{2} = 4, 22

Vypočítat další trojúhelník