Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3,4
b = 3,19
c = 4,8

Obsah trojúhelníku: S = 5,41331940016
Obvod trojúhelníku: o = 11,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,695

Úhel ∠ A = α = 44,99656024997° = 44°59'44″ = 0,78553214125 rad
Úhel ∠ B = β = 41,55882869951° = 41°33'30″ = 0,72553289396 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,44661105052° = 93°26'46″ = 1,63109423015 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 3,18442317657
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,39438520386
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,25554975007

Těžnice: t_a = 3,70437886009
Těžnice: t_b = 3,84113506739
Těžnice: t_c = 2,26600995553

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,9510516945
Poloměr opsané kružnice: R = 2,40443475989

Souřadnice vrcholů: A[4,8; 0] B[0; 0] C[2,544415625; 2,25554975007]
Těžiště: T[2,44880520833; 0,75218325002]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,4; -0,14545246558]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,505; 0,9510516945]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,00443975003° = 135°16″ = 0,78553214125 rad
∠ B' = β' = 138,44217130049° = 138°26'30″ = 0,72553289396 rad
∠ C' = γ' = 86,55438894948° = 86°33'14″ = 1,63109423015 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3, 4 b = 3, 19 c = 4, 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3, 4 + 3, 19 + 4, 8 = 11, 39

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 3 9}{2} = 5, 7

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 7 (5, 7 - 3, 4) (5, 7 - 3, 19) (5, 7 - 4, 8) S = 29, 3 = 5, 41

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 , 4 1}{3 , 4} = 3, 18 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 , 4 1}{3 , 1 9} = 3, 39 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 , 4 1}{4 , 8} = 2, 26

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 , 1 9 ^{2} + 4 , 8 ^{2} - 3 , 4 ^{2}}{2 \cdot 3 , 1 9 \cdot 4 , 8}) = 44 ° 5 9^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 , 4 ^{2} + 4 , 8 ^{2} - 3 , 1 9 ^{2}}{2 \cdot 3 , 4 \cdot 4 , 8}) = 41 ° 3 3^{'} 30 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 5 9^{'} 44 " - 41 ° 3 3^{'} 30 " = 93 ° 2 6^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 , 4 1}{5 , 7} = 0, 95

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 , 4 \cdot 3 , 1 9 \cdot 4 , 8}{4 \cdot 0 , 9 5 1 \cdot 5 , 6 9 5} = 2, 4

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 1 9 ^{2} + 2 \cdot 4 , 8 ^{2} - 3 , 4 ^{2}}{2} = 3, 704 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 8 ^{2} + 2 \cdot 3 , 4 ^{2} - 3 , 1 9 ^{2}}{2} = 3, 841 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 4 ^{2} + 2 \cdot 3 , 1 9 ^{2} - 4 , 8 ^{2}}{2} = 2, 26

Vypočítat další trojúhelník