Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 30
b = 15
c = 33,54
Obsah trojúhelníku: S = 2254,9999993502
Obvod trojúhelníku: o = 78,54
Semiperimeter (poloobvod): s = 39,27
Úhel ∠ A = α = 63,4388432446° = 63°26'18″ = 1,10772095185 rad
Úhel ∠ B = β = 26,56659220332° = 26°33'57″ = 0,46436628083 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,99656455208° = 89°59'44″ = 1,57107203268 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 154,9999999567
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 309,9999999134
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,41768157036
Těžnice: ta = 21,21223973185
Těžnice: tb = 30,9232739206
Těžnice: tc = 16,7711019647
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,73295645365
Poloměr opsané kružnice: R = 16,77700000484
Souřadnice vrcholů: A[33,54; 0] B[0; 0] C[26,83326118068; 13,41768157036]
Těžiště: T[20,12442039356; 4,47222719012]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[16,77; 0,001127452]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[24,27; 5,73295645365]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 116,5621567554° = 116°33'42″ = 1,10772095185 rad
∠ B' = β' = 153,43440779668° = 153°26'3″ = 0,46436628083 rad
∠ C' = γ' = 90,00443544792° = 90°16″ = 1,57107203268 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=30 b=15 c=33,54
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=30+15+33,54=78,54
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=278,54=39,27
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=39,27(39,27−30)(39,27−15)(39,27−33,54) S=50625=225
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=302⋅ 225=15 vb=b2 S=152⋅ 225=30 vc=c2 S=33,542⋅ 225=13,42
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 33,54152+33,542−302)=63°26′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 30⋅ 33,54302+33,542−152)=26°33′57" γ=180°−α−β=180°−63°26′18"−26°33′57"=89°59′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=39,27225=5,73
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,73⋅ 39,2730⋅ 15⋅ 33,54=16,77
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.Vypočítat další trojúhelník