Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Pravoúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 30
b = 72
c = 78
Obsah trojúhelníku: S = 1080
Obvod trojúhelníku: o = 180
Semiperimeter (poloobvod): s = 90
Úhel ∠ A = α = 22,6219864948° = 22°37'11″ = 0,39547911197 rad
Úhel ∠ B = β = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 72
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 30
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 27,69223076923
Těžnice: ta = 73,54659040328
Těžnice: tb = 46,86114980554
Těžnice: tc = 39
Poloměr vepsané kružnice: r = 12
Poloměr opsané kružnice: R = 39
Souřadnice vrcholů: A[78; 0] B[0; 0] C[11,53884615385; 27,69223076923]
Těžiště: T[29,84661538462; 9,23107692308]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[39; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[18; 12]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,3880135052° = 157°22'49″ = 0,39547911197 rad
∠ B' = β' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=30 b=72 c=78
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=30+72+78=180
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2180=90
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=90(90−30)(90−72)(90−78) S=1166400=1080
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=302⋅ 1080=72 vb=b2 S=722⋅ 1080=30 vc=c2 S=782⋅ 1080=27,69
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 72⋅ 78722+782−302)=22°37′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 30⋅ 78302+782−722)=67°22′49" γ=180°−α−β=180°−22°37′11"−67°22′49"=90°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=901080=12
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 12⋅ 9030⋅ 72⋅ 78=39
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 722+2⋅ 782−302=73,546 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 782+2⋅ 302−722=46,861 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 302+2⋅ 722−782=39
Vypočítat další trojúhelník