Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 31
b = 31
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 197,0210779361
Obvod trojúhelníku: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5

Úhel ∠ A = α = 77,89765511293° = 77°53'48″ = 1,36595512932 rad
Úhel ∠ B = β = 77,89765511293° = 77°53'48″ = 1,36595512932 rad
Úhel ∠ C = γ = 24,20768977415° = 24°12'25″ = 0,42224900673 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,71110180233
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 12,71110180233
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 30,31108891325

Těžnice: t_a = 18,02108212909
Těžnice: t_b = 18,02108212909
Těžnice: t_c = 30,31108891325

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,25438874496
Poloměr opsané kružnice: R = 15,85223888197

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[6,5; 30,31108891325]
Těžiště: T[6,5; 10,10436297108]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 14,45985003127]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 5,25438874496]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 102,10334488708° = 102°6'12″ = 1,36595512932 rad
∠ B' = β' = 102,10334488708° = 102°6'12″ = 1,36595512932 rad
∠ C' = γ' = 155,79331022585° = 155°47'35″ = 0,42224900673 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 31 b = 31 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 31 + 31 + 13 = 75

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 5}{2} = 37, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37, 5 (37, 5 - 31) (37, 5 - 31) (37, 5 - 13) S = 38817, 19 = 197, 02

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 7 , 0 2}{3 1} = 12, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 7 , 0 2}{3 1} = 12, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 7 , 0 2}{1 3} = 30, 31

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 3 1 ^{2}}{2 \cdot 3 1 \cdot 1 3}) = 77 ° 5 3^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 3 1 ^{2}}{2 \cdot 3 1 \cdot 1 3}) = 77 ° 5 3^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 77 ° 5 3^{'} 48 " - 77 ° 5 3^{'} 48 " = 24 ° 1 2^{'} 25 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 7 , 0 2}{3 7 , 5} = 5, 25

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 1 \cdot 3 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 5 , 2 5 4 \cdot 3 7 , 5} = 15, 85

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 3 1 ^{2}}{2} = 18, 021 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 3 1 ^{2} - 3 1 ^{2}}{2} = 18, 021 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 ^{2} + 2 \cdot 3 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 30, 311

Vypočítat další trojúhelník