Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 34
b = 34
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 168,1521717208
Obvod trojúhelníku: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Úhel ∠ A = α = 81,54334806647° = 81°32'37″ = 1,42332022211 rad
Úhel ∠ B = β = 81,54334806647° = 81°32'37″ = 1,42332022211 rad
Úhel ∠ C = γ = 16,91330386705° = 16°54'47″ = 0,29551882113 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,89112774828
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,89112774828
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 33,63303434416

Těžnice: t_a = 18,41219526395
Těžnice: t_b = 18,41219526395
Těžnice: t_c = 33,63303434416

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,31215824925
Poloměr opsané kružnice: R = 17,18768598667

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 33,63303434416]
Těžiště: T[5; 11,21101144805]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 16,44334835749]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 4,31215824925]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 98,45765193353° = 98°27'23″ = 1,42332022211 rad
∠ B' = β' = 98,45765193353° = 98°27'23″ = 1,42332022211 rad
∠ C' = γ' = 163,08769613295° = 163°5'13″ = 0,29551882113 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 34 b = 34 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 34 + 34 + 10 = 78

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 34) (39 - 34) (39 - 10) S = 28275 = 168, 15

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 8 , 1 5}{3 4} = 9, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 8 , 1 5}{3 4} = 9, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 8 , 1 5}{1 0} = 33, 63

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 4 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2 \cdot 3 4 \cdot 1 0}) = 81 ° 3 2^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 4 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2 \cdot 3 4 \cdot 1 0}) = 81 ° 3 2^{'} 37 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 81 ° 3 2^{'} 37 " - 81 ° 3 2^{'} 37 " = 16 ° 5 4^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 8 , 1 5}{3 9} = 4, 31

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 4 \cdot 3 4 \cdot 1 0}{4 \cdot 4 , 3 1 2 \cdot 3 9} = 17, 19

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2} = 18, 412 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 3 4 ^{2} - 3 4 ^{2}}{2} = 18, 412 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 ^{2} + 2 \cdot 3 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 33, 63

Vypočítat další trojúhelník