Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 36
b = 30
c = 46,86

Obsah trojúhelníku: S = 5409,9999988593
Obvod trojúhelníku: o = 112,86
Semiperimeter (poloobvod): s = 56,43

Úhel ∠ A = α = 50,19766268221° = 50°11'48″ = 0,87660964114 rad
Úhel ∠ B = β = 39,80770974035° = 39°48'26″ = 0,69547649154 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,99662757743° = 89°59'47″ = 1,57107313268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 309,9999999366
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 365,999999924
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 23,04773751114

Těžnice: t_a = 34,9854708088
Těžnice: t_b = 38,99990999896
Těžnice: t_c = 23,43114980315

Poloměr vepsané kružnice: r = 9,56993779702
Poloměr opsané kružnice: R = 23,43300000495

Souřadnice vrcholů: A[46,86; 0] B[0; 0] C[27,65553521127; 23,04773751114]
Těžiště: T[24,83884507042; 7,68224583705]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[23,43; 0,002152295]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[26,43; 9,56993779702]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,80333731779° = 129°48'12″ = 0,87660964114 rad
∠ B' = β' = 140,19329025965° = 140°11'34″ = 0,69547649154 rad
∠ C' = γ' = 90,00437242257° = 90°13″ = 1,57107313268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 36 b = 30 c = 46, 86

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 36 + 30 + 46, 86 = 112, 86

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 2 , 8 6}{2} = 56, 43

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 56, 43 (56, 43 - 36) (56, 43 - 30) (56, 43 - 46, 86) S = 291600 = 540

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 4 0}{3 6} = 30 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 4 0}{3 0} = 36 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 4 0}{4 6 , 8 6} = 23, 05

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 0 ^{2} + 4 6 , 8 6 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2 \cdot 3 0 \cdot 4 6 , 8 6}) = 50 ° 1 1^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 6 ^{2} + 4 6 , 8 6 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2 \cdot 3 6 \cdot 4 6 , 8 6}) = 39 ° 4 8^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 1 1^{'} 48 " - 39 ° 4 8^{'} 26 " = 89 ° 5 9^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 4 0}{5 6 , 4 3} = 9, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 6 \cdot 3 0 \cdot 4 6 , 8 6}{4 \cdot 9 , 5 6 9 \cdot 5 6 , 4 3} = 23, 43

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník