Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 380
b = 420,12
c = 284

Obsah trojúhelníku: S = 52576,9087687305
Obvod trojúhelníku: o = 1084,12
Semiperimeter (poloobvod): s = 542,06

Úhel ∠ A = α = 61,80219357238° = 61°48'7″ = 1,07986472625 rad
Úhel ∠ B = β = 776,9995232258° = 76°59'58″ = 1,34438952028 rad
Úhel ∠ C = γ = 41,19985410504° = 41°11'55″ = 0,71990501883 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 276,72105667753
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 250,29547143069
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 370,26599132909

Těžnice: t_a = 304,10326260985
Těžnice: t_b = 261,53992827091
Těžnice: t_c = 374,54882708544

Poloměr vepsané kružnice: r = 96,99546273241
Poloměr opsané kružnice: R = 215,58658550566

Souřadnice vrcholů: A[284; 0] B[0; 0] C[85,48444816901; 370,26599132909]
Těžiště: T[123,16114938967; 123,4219971097]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[142; 162,21436273575]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[121,94; 96,99546273241]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 118,19880642762° = 118°11'53″ = 1,07986472625 rad
∠ B' = β' = 1033,0004767742° = 103°2″ = 1,34438952028 rad
∠ C' = γ' = 138,80114589496° = 138°48'5″ = 0,71990501883 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 380 b = 420, 12 c = 284

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 380 + 420, 12 + 284 = 1084, 12

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 0 8 4 , 1 2}{2} = 542, 06

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 542, 06 (542, 06 - 380) (542, 06 - 420, 12) (542, 06 - 284) S = 2764331221, 96 = 52576, 91

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 5 7 6 , 9 1}{3 8 0} = 276, 72 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 5 7 6 , 9 1}{4 2 0 , 1 2} = 250, 29 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 5 7 6 , 9 1}{2 8 4} = 370, 26

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 2 0 , 1 2 ^{2} + 2 8 4 ^{2} - 3 8 0 ^{2}}{2 \cdot 4 2 0 , 1 2 \cdot 2 8 4}) = 61 ° 4 8^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 8 0 ^{2} + 2 8 4 ^{2} - 4 2 0 , 1 2 ^{2}}{2 \cdot 3 8 0 \cdot 2 8 4}) = 76 ° 5 9^{'} 58 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 61 ° 4 8^{'} 7 " - 76 ° 5 9^{'} 58 " = 41 ° 1 1^{'} 55 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 5 7 6 , 9 1}{5 4 2 , 0 6} = 96, 99

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 8 0 \cdot 4 2 0 , 1 2 \cdot 2 8 4}{4 \cdot 9 6 , 9 9 5 \cdot 5 4 2 , 0 6} = 215, 59

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 2 0 , 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 8 4 ^{2} - 3 8 0 ^{2}}{2} = 304, 103 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 4 ^{2} + 2 \cdot 3 8 0 ^{2} - 4 2 0 , 1 2 ^{2}}{2} = 261, 539 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 8 0 ^{2} + 2 \cdot 4 2 0 , 1 2 ^{2} - 2 8 4 ^{2}}{2} = 374, 548

Vypočítat další trojúhelník