Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 4
c = 5,66
Obsah trojúhelníku: S = 87,9999950494
Obvod trojúhelníku: o = 13,66
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,83
Úhel ∠ A = α = 44,96881292161° = 44°58'5″ = 0,78548419133 rad
Úhel ∠ B = β = 44,96881292161° = 44°58'5″ = 0,78548419133 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,06437415679° = 90°3'49″ = 1,5721908827 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 43,9999975247
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 43,9999975247
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,82768533743
Těžnice: ta = 4,47441256129
Těžnice: tb = 4,47441256129
Těžnice: tc = 2,82768533743
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,17113023498
Poloměr opsané kružnice: R = 2,83300017513
Souřadnice vrcholů: A[5,66; 0] B[0; 0] C[2,83; 2,82768533743]
Těžiště: T[2,83; 0,94222844581]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,83; -0,00331483769]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,83; 1,17113023498]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,03218707839° = 135°1'55″ = 0,78548419133 rad
∠ B' = β' = 135,03218707839° = 135°1'55″ = 0,78548419133 rad
∠ C' = γ' = 89,93662584321° = 89°56'11″ = 1,5721908827 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=4 c=5,66
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+4+5,66=13,66
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=213,66=6,83
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=6,83(6,83−4)(6,83−4)(6,83−5,66) S=64=8
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 8=4 vb=b2 S=42⋅ 8=4 vc=c2 S=5,662⋅ 8=2,83
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 5,6642+5,662−42)=44°58′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 5,6642+5,662−42)=44°58′5" γ=180°−α−β=180°−44°58′5"−44°58′5"=90°3′49"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=6,838=1,17
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,171⋅ 6,834⋅ 4⋅ 5,66=2,83
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 5,662−42=4,474 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 5,662+2⋅ 42−42=4,474 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 42−5,662=2,827
Vypočítat další trojúhelník