Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 6
c = 7,21
Obsah trojúhelníku: S = 121,9999993416
Obvod trojúhelníku: o = 17,21
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,605
Úhel ∠ A = α = 33,69659067301° = 33°41'45″ = 0,58881045169 rad
Úhel ∠ B = β = 56,32330724972° = 56°19'23″ = 0,98330230599 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,98110207727° = 89°58'52″ = 1,57704650768 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 65,9999996708
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 43,9999997805
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,32987099422
Těžnice: ta = 6,32439267864
Těžnice: tb = 4,99992049368
Těžnice: tc = 3,60661024667
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,39545379828
Poloměr opsané kružnice: R = 3,60550001978
Souřadnice vrcholů: A[7,21; 0] B[0; 0] C[2,2188037448; 3,32987099422]
Těžiště: T[3,14326791493; 1,11095699807]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,605; 0,00111941563]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,605; 1,39545379828]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,30440932699° = 146°18'15″ = 0,58881045169 rad
∠ B' = β' = 123,67769275028° = 123°40'37″ = 0,98330230599 rad
∠ C' = γ' = 90,01989792273° = 90°1'8″ = 1,57704650768 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=6 c=7,21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+6+7,21=17,21
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=217,21=8,61
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,61(8,61−4)(8,61−6)(8,61−7,21) S=144=12
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 12=6 vb=b2 S=62⋅ 12=4 vc=c2 S=7,212⋅ 12=3,33
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 7,2162+7,212−42)=33°41′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 7,2142+7,212−62)=56°19′23" γ=180°−α−β=180°−33°41′45"−56°19′23"=89°58′52"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=8,6112=1,39
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,395⋅ 8,6054⋅ 6⋅ 7,21=3,61
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 7,212−42=6,324 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 7,212+2⋅ 42−62=4,999 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 62−7,212=3,606
Vypočítat další trojúhelník