Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 9,9
c = 10,68

Obsah trojúhelníku: S = 19.87999956664
Obvod trojúhelníku: o = 24,58
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,29

Úhel ∠ A = α = 21,99553752897° = 21°59'43″ = 0,3843891719 rad
Úhel ∠ B = β = 67,96767168938° = 67°58' = 1,18662429916 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,03879078165° = 90°2'16″ = 1,5711457943 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9.98999978332
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 43,9999991245
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,7087864357

Těžnice: t_a = 10,10112969464
Těžnice: t_b = 6,36662155163
Těžnice: t_c = 5,33875462527

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,61110655546
Poloměr opsané kružnice: R = 5,34400011688

Souřadnice vrcholů: A[10,68; 0] B[0; 0] C[1,50105805243; 3,7087864357]
Těžiště: T[4,06601935081; 1,23659547857]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,34; -0,00435330311]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,39; 1,61110655546]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,00546247103° = 158°17″ = 0,3843891719 rad
∠ B' = β' = 112,03332831062° = 112°2' = 1,18662429916 rad
∠ C' = γ' = 89,96220921835° = 89°57'44″ = 1,5711457943 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 9, 9 c = 10, 68

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 9, 9 + 10, 68 = 24, 58

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4 , 5 8}{2} = 12, 29

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 29 (12, 29 - 4) (12, 29 - 9, 9) (12, 29 - 10, 68) S = 392, 04 = 19, 8

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 , 8}{4} = 9, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 , 8}{9 , 9} = 4 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 , 8}{1 0 , 6 8} = 3, 71

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 , 9 ^{2} + 1 0 , 6 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 9 , 9 \cdot 1 0 , 6 8}) = 21 ° 5 9^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 0 , 6 8 ^{2} - 9 , 9 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 0 , 6 8}) = 67 ° 5 8^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 5 9^{'} 43 " - 67 ° 5 8^{'} = 90 ° 2^{'} 16 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 , 8}{1 2 , 2 9} = 1, 61

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 9 , 9 \cdot 1 0 , 6 8}{4 \cdot 1 , 6 1 1 \cdot 1 2 , 2 9} = 5, 34

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 6 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 10, 101 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 6 8 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 9 , 9 ^{2}}{2} = 6, 366 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 9 , 9 ^{2} - 1 0 , 6 8 ^{2}}{2} = 5, 338

Vypočítat další trojúhelník