Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4,06
b = 2,5
c = 2

Obsah trojúhelníku: S = 1,95548374459
Obvod trojúhelníku: o = 8,56
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,28

Úhel ∠ A = α = 128,56219167948° = 128°33'43″ = 2,24438287407 rad
Úhel ∠ B = β = 28,78325690761° = 28°46'57″ = 0,50223505976 rad
Úhel ∠ C = γ = 22,65655141291° = 22°39'20″ = 0,39554133153 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,96329741113
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,56438699567
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,95548374459

Těžnice: t_a = 1,0022047903
Těžnice: t_b = 2,94660651724
Těžnice: t_c = 3,22197515432

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,4576737721
Poloměr opsané kružnice: R = 2,59661237905

Souřadnice vrcholů: A[2; 0] B[0; 0] C[3,55884; 1,95548374459]
Těžiště: T[1,85328; 0,6521612482]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1; 2,39658002287]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,78; 0,4576737721]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 51,43880832052° = 51°26'17″ = 2,24438287407 rad
∠ B' = β' = 151,21774309239° = 151°13'3″ = 0,50223505976 rad
∠ C' = γ' = 157,34444858709° = 157°20'40″ = 0,39554133153 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4, 06 b = 2, 5 c = 2

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4, 06 + 2, 5 + 2 = 8, 56

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 , 5 6}{2} = 4, 28

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 4, 28 (4, 28 - 4, 06) (4, 28 - 2, 5) (4, 28 - 2) S = 3, 82 = 1, 95

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 9 5}{4 , 0 6} = 0, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 9 5}{2 , 5} = 1, 56 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 9 5}{2} = 1, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 5 ^{2} + 2 ^{2} - 4 , 0 6 ^{2}}{2 \cdot 2 , 5 \cdot 2}) = 128 ° 3 3^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 , 0 6 ^{2} + 2 ^{2} - 2 , 5 ^{2}}{2 \cdot 4 , 0 6 \cdot 2}) = 28 ° 4 6^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 128 ° 3 3^{'} 43 " - 28 ° 4 6^{'} 57 " = 22 ° 3 9^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 9 5}{4 , 2 8} = 0, 46

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 , 0 6 \cdot 2 , 5 \cdot 2}{4 \cdot 0 , 4 5 7 \cdot 4 , 2 8} = 2, 6

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 5 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 4 , 0 6 ^{2}}{2} = 1, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 4 , 0 6 ^{2} - 2 , 5 ^{2}}{2} = 2, 946 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 0 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 5 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 3, 22

Vypočítat další trojúhelník