Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4,24
b = 2,45
c = 6

Obsah trojúhelníku: S = 4,23664798181
Obvod trojúhelníku: o = 12,69
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,345

Úhel ∠ A = α = 35,19771600165° = 35°11'50″ = 0,61443063296 rad
Úhel ∠ B = β = 19,45444034086° = 19°27'16″ = 0,34395433935 rad
Úhel ∠ C = γ = 125,34884365749° = 125°20'54″ = 2,18877429305 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 1,99883395369
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,45883508719
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,41221599394

Těžnice: t_a = 4,06328622915
Těžnice: t_b = 5,04985814839
Těžnice: t_c = 1,72991761044

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,66876879146
Poloměr opsané kružnice: R = 3,67880536363

Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[3,9987925; 1,41221599394]
Těžiště: T[3,33326416667; 0,47107199798]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; -2,12879282298]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,895; 0,66876879146]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,80328399835° = 144°48'10″ = 0,61443063296 rad
∠ B' = β' = 160,54655965914° = 160°32'44″ = 0,34395433935 rad
∠ C' = γ' = 54,65215634251° = 54°39'6″ = 2,18877429305 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4, 24 b = 2, 45 c = 6

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4, 24 + 2, 45 + 6 = 12, 69

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 , 6 9}{2} = 6, 35

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 , 2 4}{4 , 2 4} = 2 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 , 2 4}{2 , 4 5} = 3, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 , 2 4}{6} = 1, 41

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 4 5 ^{2} + 6 ^{2} - 4 , 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 , 4 5 \cdot 6}) = 35 ° 1 1^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 , 2 4 ^{2} + 6 ^{2} - 2 , 4 5 ^{2}}{2 \cdot 4 , 2 4 \cdot 6}) = 19 ° 2 7^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 1 1^{'} 50 " - 19 ° 2 7^{'} 16 " = 125 ° 2 0^{'} 54 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 , 2 4}{6 , 3 5} = 0, 67

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 , 2 4 \cdot 2 , 4 5 \cdot 6}{4 \cdot 0 , 6 6 8 \cdot 6 , 3 4 5} = 3, 68

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník