Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4,33
b = 2,5
c = 5

Obsah trojúhelníku: S = 5,4122499993
Obvod trojúhelníku: o = 11,83
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,915

Úhel ∠ A = α = 59,99770889407° = 59°59'50″ = 1,04771467436 rad
Úhel ∠ B = β = 309,9999999573° = 30° = 0,52435987749 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,0032911102° = 90°10″ = 1,57108471351 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 2.54999999968
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,33299999944
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,16549999972

Těžnice: t_a = 3,30772307147
Těžnice: t_b = 4,50768780769
Těžnice: t_c = 2.54998899976

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,91550464908
Poloměr opsané kružnice: R = 2.55000000032

Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[3,754989; 2,16549999972]
Těžiště: T[2,917663; 0,72216666657]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; -00,0001270208]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,415; 0,91550464908]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 120,00329110593° = 120°10″ = 1,04771467436 rad
∠ B' = β' = 1500,0000000427° = 150° = 0,52435987749 rad
∠ C' = γ' = 89,9977088898° = 89°59'50″ = 1,57108471351 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4, 33 b = 2, 5 c = 5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4, 33 + 2, 5 + 5 = 11, 83

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 8 3}{2} = 5, 92

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 92 (5, 92 - 4, 33) (5, 92 - 2, 5) (5, 92 - 5) S = 29, 3 = 5, 41

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 , 4 1}{4 , 3 3} = 2, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 , 4 1}{2 , 5} = 4, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 , 4 1}{5} = 2, 16

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 5 ^{2} + 5 ^{2} - 4 , 3 3 ^{2}}{2 \cdot 2 , 5 \cdot 5}) = 59 ° 5 9^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 , 3 3 ^{2} + 5 ^{2} - 2 , 5 ^{2}}{2 \cdot 4 , 3 3 \cdot 5}) = 30 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 59 ° 5 9^{'} 50 " - 30 ° = 90 ° 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 , 4 1}{5 , 9 2} = 0, 92

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 , 3 3 \cdot 2 , 5 \cdot 5}{4 \cdot 0 , 9 1 5 \cdot 5 , 9 1 5} = 2, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 4 , 3 3 ^{2}}{2} = 3, 307 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 4 , 3 3 ^{2} - 2 , 5 ^{2}}{2} = 4, 507 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 3 3 ^{2} + 2 \cdot 2 , 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 2, 5

Vypočítat další trojúhelník