Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 40
b = 30
c = 60
Obsah trojúhelníku: S = 533,26882251925
Obvod trojúhelníku: o = 130
Semiperimeter (poloobvod): s = 65
Úhel ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Úhel ∠ B = β = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 26,66334112596
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 35,55112150128
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 17,77656075064
Těžnice: ta = 43,01216263352
Těžnice: tb = 48,7343971724
Těžnice: tc = 18,70882869339
Poloměr vepsané kružnice: r = 8,20441265414
Poloměr opsané kružnice: R = 33,75441206276
Souřadnice vrcholů: A[60; 0] B[0; 0] C[35,83333333333; 17,77656075064]
Těžiště: T[31,94444444444; 5,92552025021]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[30; -15,4710638621]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[35; 8,20441265414]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ C' = γ' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=40 b=30 c=60
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=40+30+60=130
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2130=65
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=65(65−40)(65−30)(65−60) S=284375=533,27
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=402⋅ 533,27=26,66 vb=b2 S=302⋅ 533,27=35,55 vc=c2 S=602⋅ 533,27=17,78
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 60302+602−402)=36°20′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 40⋅ 60402+602−302)=26°23′4" γ=180°−α−β=180°−36°20′10"−26°23′4"=117°16′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=65533,27=8,2
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 8,204⋅ 6540⋅ 30⋅ 60=33,75
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 602−402=43,012 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 602+2⋅ 402−302=48,734 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 402+2⋅ 302−602=18,708
Vypočítat další trojúhelník