Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 40
b = 45,83
c = 50

Obsah trojúhelníku: S = 866,08215293881
Obvod trojúhelníku: o = 135,83
Semiperimeter (poloobvod): s = 67,915

Úhel ∠ A = α = 49,10547674673° = 49°6'17″ = 0,85770398707 rad
Úhel ∠ B = β = 60,00664321458° = 60°23″ = 1,04773098133 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,88988003869° = 70°53'20″ = 1,23772429695 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 43,30440764694
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 37,79553973113
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 34,64332611755

Těžnice: t_a = 43,59112198728
Těžnice: t_b = 39,05500035211
Těžnice: t_c = 35,00327777469

Poloměr vepsané kružnice: r = 12,75224336213
Poloměr opsané kružnice: R = 26,45882481238

Souřadnice vrcholů: A[50; 0] B[0; 0] C[19,9966111; 34,64332611755]
Těžiště: T[23,3322037; 11,54877537252]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[25; 8,66224992803]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[22,085; 12,75224336213]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,89552325327° = 130°53'43″ = 0,85770398707 rad
∠ B' = β' = 119,99435678542° = 119°59'37″ = 1,04773098133 rad
∠ C' = γ' = 109,11111996131° = 109°6'40″ = 1,23772429695 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 40 b = 45, 83 c = 50

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 40 + 45, 83 + 50 = 135, 83

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3 5 , 8 3}{2} = 67, 92

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 67, 92 (67, 92 - 40) (67, 92 - 45, 83) (67, 92 - 50) S = 750097, 22 = 866, 08

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 6 6 , 0 8}{4 0} = 43, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 6 6 , 0 8}{4 5 , 8 3} = 37, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 6 6 , 0 8}{5 0} = 34, 64

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 5 , 8 3 ^{2} + 5 0 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2 \cdot 4 5 , 8 3 \cdot 5 0}) = 49 ° 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 0 ^{2} + 5 0 ^{2} - 4 5 , 8 3 ^{2}}{2 \cdot 4 0 \cdot 5 0}) = 60 ° 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 6^{'} 17 " - 60 ° 23 " = 70 ° 5 3^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 6 6 , 0 8}{6 7 , 9 2} = 12, 75

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 0 \cdot 4 5 , 8 3 \cdot 5 0}{4 \cdot 1 2 , 7 5 2 \cdot 6 7 , 9 1 5} = 26, 46

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 5 , 8 3 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2} = 43, 591 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 4 0 ^{2} - 4 5 , 8 3 ^{2}}{2} = 39, 05 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 0 ^{2} + 2 \cdot 4 5 , 8 3 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 35, 003

Vypočítat další trojúhelník