Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 40
b = 57
c = 59

Obsah trojúhelníku: S = 1087,49106896153
Obvod trojúhelníku: o = 156
Semiperimeter (poloobvod): s = 78

Úhel ∠ A = α = 40,29661433308° = 40°17'46″ = 0,7033300377 rad
Úhel ∠ B = β = 67,16114597929° = 67°9'41″ = 1,17221886038 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 54,37545344808
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 38,15875680567
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 36,86440911734

Těžnice: t_a = 54,45218135602
Těžnice: t_b = 41,57222263056
Těžnice: t_c = 39,42439774756

Poloměr vepsané kružnice: r = 13,94221883284
Poloměr opsané kružnice: R = 30,92444026833

Souřadnice vrcholů: A[59; 0] B[0; 0] C[15,52554237288; 36,86440911734]
Těžiště: T[24,84218079096; 12,28880303911]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[29,5; 9,2777320805]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[21; 13,94221883284]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,70438566692° = 139°42'14″ = 0,7033300377 rad
∠ B' = β' = 112,83985402071° = 112°50'19″ = 1,17221886038 rad
∠ C' = γ' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 40 b = 57 c = 59

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 40 + 57 + 59 = 156

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 5 6}{2} = 78

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 78 (78 - 40) (78 - 57) (78 - 59) S = 1182636 = 1087, 49

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 8 7 , 4 9}{4 0} = 54, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 8 7 , 4 9}{5 7} = 38, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 8 7 , 4 9}{5 9} = 36, 86

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 7 ^{2} + 5 9 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2 \cdot 5 7 \cdot 5 9}) = 40 ° 1 7^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 0 ^{2} + 5 9 ^{2} - 5 7 ^{2}}{2 \cdot 4 0 \cdot 5 9}) = 67 ° 9^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 1 7^{'} 46 " - 67 ° 9^{'} 41 " = 72 ° 3 2^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 8 7 , 4 9}{7 8} = 13, 94

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 0 \cdot 5 7 \cdot 5 9}{4 \cdot 1 3 , 9 4 2 \cdot 7 8} = 30, 92

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 7 ^{2} + 2 \cdot 5 9 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2} = 54, 452 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 9 ^{2} + 2 \cdot 4 0 ^{2} - 5 7 ^{2}}{2} = 41, 572 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 0 ^{2} + 2 \cdot 5 7 ^{2} - 5 9 ^{2}}{2} = 39, 424

Vypočítat další trojúhelník